Erkundung – Schranken für die Winkelfunktionen im Dreieck

Wiederholung: Umkehrung

Im vorangegangenen Kapitel hast du gelernt, dass du mit dem Taschenrechner die drei Winkelfunktionen umkehren kannst. Statt zu einem Winkel ein Verhältnis zu berechnen, berechnest du dann zu einem Verhältnis einen Winkel.

Aufgabe 1: Teste es aus!

Berechne die folgenden Ausdrücke mit dem Taschenrechner. Notiere dir, was dir auffällt.

• $\arcsin (0.5)$
• $\arcsin (\frac{1}{\sqrt{2}})$
• $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$
• $\arcsin (2)$

Schranken

Die ersten drei Winkel, die du berechnet hast, stellen sehr bekannte Funktionswerte dar. Manchmal wird erwartet, dass man diese auswendig lernt. In der vierten Aufgabe ist aber ein merkwürdiger Effekt aufgetreten, den wir nun näher untersuchen.

Aufgabe 2: Untersuchung mit GeoGebra

Im nachfolgenden Applet kannst du den Winkel variieren und dir den Wert die drei Winkelfunktionen berechnen lassen.

(a) Überprüfe die ersten drei Ergebnisse der vorherigen Aufgabe, indem du den entsprechenden Winkel unten einstellst.

(b) Verändere den Winkel $\alpha$ und versuche, $\sin (\alpha )=2$ zu erreichen.

(c) Notiere eine Vermutung, warum du in (b) scheiterst.

Zum Herunterladen: seitenverhaeltnisse-rechtwinklig.ggb

Aufgabe 3: Obere Schranken für den Sinus finden und begründen

(a) Die Vermutung aus der vorherigen Aufgabe würde eine Mathematikerin so formulieren: „In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Zahl $2$ eine obere Schranke für den Sinus.“ Erkläre ohne den neuen Fachbegriff, was das bedeutet.

(b) Es gibt weitere obere Schranken für den Sinus, z.B. $666$ oder $1.5$. Welche der drei Schranken $1.5$, $2$, $666$ ist am hilfreichsten? Begründe.

(c) Ergänze: „Am meisten hilft es uns, wenn wir eine möglichst ... obere Schranke finden.“

(d) Finde durch Experimentieren eine möglichst hilfreiche obere Schranke für den Sinus.

(e) In der Mathematik ist es üblich, alle Aussagen zu begründen. Suche nach einem geeigneten Argument für deine gefundene obere Schranke.

Aufgabe 4: Untere Schranke für den Sinus finden und begründen

(a) Gib mindestens drei untere Schranken für den Sinus an. Nutze zum Ausprobieren das Applet oben.

(b) Wähle begründet aus, welche deiner drei Schranken die sinnvollste ist.

(c) Ergänze: „Am meisten hilft es uns, wenn wir eine möglichst ... untere Schranke finden.“

(d) Finde durch Experimentieren oder Nachdenken eine möglichst hilfreiche untere Schranke für den Sinus.

(e) In der Mathematik ist es üblich, alle Aussagen zu begründen. Suche nach einem geeigneten Argument für deine gefundene untere Schranke.

Aufgabe 5: Schranken für den Kosinus

(a) Übertrage die Überlegungen aus Aufgabe 4 auf den Kosinus: Gib mehrere untere Schranken an. Finde die hilfreichste Schranke. Begründe diese Schranke.

(b) Übertrage die Überlegungen aus Aufgabe 3 auf den Kosinus: Gib mehrere obere Schranken an. Finde die hilfreichste Schranke. Begründe diese Schranke.

Aufgabe 6: Schranken für den Tangens

(a) Übertrage die Überlegungen aus Aufgabe 4 auf den Tangens: Gib mehrere untere Schranken an. Finde die hilfreichste Schranke. Begründe diese Schranke.

(b) Jakob hat mit obigem Applet die folgende obere Schranke für den Tangens bestimmt: $57,29$. Erkläre, wie er darauf kommt.

(c) Begründe, warum Jakobs Vorgehensweise und Ergebnis falsch ist.

(d) Entwickle eine eigene Vermutung über obere Schranken für den Tangens.

(e) Begründe deine Vermutung aus Teil (e).