Erkundung – Schranken für die Winkelfunktionen im Dreieck
Wiederholung: Umkehrung
Im vorangegangenen Kapitel hast du gelernt, dass du mit dem Taschenrechner die drei Winkelfunktionen umkehren kannst. Statt zu einem Winkel ein Verhältnis zu berechnen, berechnest du dann zu einem Verhältnis einen Winkel.
Aufgabe 1: Teste es aus!
Berechne die folgenden Ausdrücke mit dem Taschenrechner. Notiere dir, was dir auffällt.
- $\arcsin(0.5)$
- $\arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}})$
- $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$
- $\arcsin(2)$
Schranken
Die ersten drei Winkel, die du berechnet hast, stellen sehr bekannte Funktionswerte dar. Manchmal wird erwartet, dass man diese auswendig lernt. In der vierten Aufgabe ist aber ein merkwürdiger Effekt aufgetreten, den wir nun näher untersuchen.
Aufgabe 2: Untersuchung mit GeoGebra
Im nachfolgenden Applet kannst du den Winkel variieren und dir den Wert die drei Winkelfunktionen berechnen lassen.
(a) Überprüfe die ersten drei Ergebnisse der vorherigen Aufgabe, indem du den entsprechenden Winkel unten einstellst.
(b) Verändere den Winkel $\alpha$ und versuche, $\sin(\alpha)=2$ zu erreichen.
(c) Notiere eine Vermutung, warum du in (b) scheiterst.
Zum Herunterladen: seitenverhaeltnisse-rechtwinklig.ggb
Wenn eine Funktion einen bestimmten Wert nicht überschreiten kann, dann nennt man diesen eine obere Schranke. Genauso heißt ein Wert, den eine Funktion nicht unterschreiten kann, untere Schranke.
Aufgabe 3: Obere Schranken für den Sinus finden und begründen
(a) Die Vermutung aus der vorherigen Aufgabe würde eine Mathematikerin so formulieren: „In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Zahl $2$ eine obere Schranke für den Sinus.“ Erkläre ohne den neuen Fachbegriff, was das bedeutet.
(b) Es gibt weitere obere Schranken für den Sinus, z.B. $666$ oder $1.5$. Welche der drei Schranken $1.5$, $2$, $666$ ist am hilfreichsten? Begründe.
(c) Ergänze: „Am meisten hilft es uns, wenn wir eine möglichst ... obere Schranke finden.“
(d) Finde durch Experimentieren eine möglichst hilfreiche obere Schranke für den Sinus.
(e) In der Mathematik ist es üblich, alle Aussagen zu begründen. Suche nach einem geeigneten Argument für deine gefundene obere Schranke.
Nutze folgende Argumentationsweise: „In einem rechtwinkligen Dreieck ist die ... immer die größte Seite. Wenn ich nun ... durch ... teile, dann ist der ... größer als der ... . Entsprechend ist das Ergebnis kleiner als ... .“
Aufgabe 4: Untere Schranke für den Sinus finden und begründen
(a) Gib mindestens drei untere Schranken für den Sinus an. Nutze zum Ausprobieren das Applet oben.
(b) Wähle begründet aus, welche deiner drei Schranken die sinnvollste ist.
(c) Ergänze: „Am meisten hilft es uns, wenn wir eine möglichst ... untere Schranke finden.“
(d) Finde durch Experimentieren oder Nachdenken eine möglichst hilfreiche untere Schranke für den Sinus.
(e) In der Mathematik ist es üblich, alle Aussagen zu begründen. Suche nach einem geeigneten Argument für deine gefundene untere Schranke.
Nutze folgende Argumentationsweise: „Wir teilen ... durch ... . Beide Werte sind ..., also ist das Ergebnis auch ... .“
Aufgabe 5: Schranken für den Kosinus
(a) Übertrage die Überlegungen aus Aufgabe 4 auf den Kosinus: Gib mehrere untere Schranken an. Finde die hilfreichste Schranke. Begründe diese Schranke.
(b) Übertrage die Überlegungen aus Aufgabe 3 auf den Kosinus: Gib mehrere obere Schranken an. Finde die hilfreichste Schranke. Begründe diese Schranke.
Aufgabe 6: Schranken für den Tangens
(a) Übertrage die Überlegungen aus Aufgabe 4 auf den Tangens: Gib mehrere untere Schranken an. Finde die hilfreichste Schranke. Begründe diese Schranke.
(b) Jakob hat mit obigem Applet die folgende obere Schranke für den Tangens bestimmt: $57,29$. Erkläre, wie er darauf kommt.
(c) Begründe, warum Jakobs Vorgehensweise und Ergebnis falsch ist.
(d) Entwickle eine eigene Vermutung über obere Schranken für den Tangens.
Das Applet oben endet bei 89°. Es sind im Dreieck aber auch z.B. 89,9° oder 89,99° möglich. Bestimme den Tangens dieser Winkel mit dem Taschenrechner.
(e) Begründe deine Vermutung aus Teil (e).
Nutze folgende Argumentationsweise: „Wir teilen ... durch ... . Dabei kann ich die ... ganz klein und die ... ganz groß wählen. Dadurch wird das Ergebnis beliebig ... .“
