Strukturierung – Bogenmaß
Das Gradmaß und das Bogenmaß
In der Erkundung hast du bereits festgestellt, dass man Winkel auf eine neue Art beschreiben kann. Hier klären wir, wie genau das geht. Experimentiere dafür zuerst noch einmal mit diesem etwas angepassten Applet.
Zum Herunterladen: bogenmass_2.ggb
Aufgabe 1: Die Grundidee
Vervollständige folgenden Satz zur Grundidee dieser neuen Art, Winkel zu beschreiben; dazu kann das Experimentieren mit dem Applet oben helfen:
„Beim Bogenmaß beschreibt man die Größe eines Winkels durch ...“
Aufgabe 2: Wichtige Werte
(a) Lege eine Tabelle mit einigen wichtigen Werten im Gradmaß und im Bogenmaß an.:
| Gradmaß | Bogenmaß |
|---|---|
| 0° | |
| 45° | |
| 90° | |
| 180° | |
| 270° | |
| 360° |
(b) Welchen Zusammenhang zur Kreiszahl $\pi$ stellst du fest? Rufe dir ggf. noch einmal in Erinnerung, was die Kreiszahl eigentlich aussagt. Tipp: Das hatte irgendetwas mit dem Umfang eines Kreises zu tun.
Aufgabe 3: Der Einheitskreis
In Aufgabe 1 hast du vielleicht das Wort „Einheitskreis“ verwendet, also von einem Kreis mit dem Radius von einer Längeneinheit gesprochen. Beim Bogenmaß spielt es eine große Rolle, welchen Radius der Kreis hat, dessen Kreisbögen wir betrachten. Erkläre, wieso das so ist.
Aufgabe 4: Umrechnungsformeln
(a) Wie ändert sich der Winkel im Bogenmaß, wenn wir den Winkel im Gradmaß verdoppeln (oder verdreifachen, halbieren, ...)?
(b) Wie ändert sich der Winkel im Gradmaß, wenn wir den Winkel im Bogenmaß verdoppeln (oder verdreifachen, halbieren, ...)?
(c) Erinnerst du dich an den mathematischen Fachbegriff für einen Zusammenhang (also eine Zuordnung/Funktion) mit der Eigenschaft aus (a) und (b)?
(d) Paula möchte einen $40°$-Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen. Sie geht so vor:
| Gradmaß | Bogenmaß |
|---|---|
| 360° | $2\pi$ |
| 1° | $\frac{2\pi}{360}$ |
| 40° | $40\cdot \frac{2\cdot\pi}{360} = \frac{2}{9}\cdot \pi$ |
Erkläre, warum Paula so rechnen darf. Erinnerst du dich an den Fachbegriff für das Vorgehen? Versuche, auf ähnliche Weise herauszufinden, zu welchem Gradmaß der Winkel von $\frac{\pi}{6}$ (im Bogenmaß) gehört.
(e) Nun suchen wir Umrechungsformeln, mit denen man in einem Schritt vom Winkel im Gradmaß zum Winkel im Bogenmaß kommt und umgekehrt. Wir nutzen dafür $\alpha$ als Bezeichung für den Winkel im Gradmaß (wie wir es kennen) und $b$ als Bezeichung für den Winkel im Bogenmaß. Es gibt nun zwei mögliche Wege:
- Anspruchsvoll: Finde eine Formel, mit der du $b$ ausrechnen kannst, wenn du $\alpha$ kennst, sowie eine umgekehrte Formel.
- Einfacher: Du bekommst eine Formel für $b$ vorgegeben und sollst sie begründen. Danach entwickelst du selbst eine Formel für $\alpha$.
Es gilt: $$b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi.$$
Erkläre diese Formel; nutze dafür Teil (d). Stelle sie dann nach $\alpha$ um, um eine zweite Formel zu erhalten.Aufgabe 5: Bogenmaß im Taschenrechner
Die meisten Taschenrechner kann man vom Gradmaß (englisch degree, oft kurz DEG) ins Bogenmaß (englisch Radian, oft kurz RAD) umstellen.
Finde heraus, wie man deinen Taschenrechner umstellt. Überprüfe, welchen Effekt das auf die Berechnung verschiedener Winkelfunktionen hat. Nach den Ergebnissen von oben müsste $\sin(40°)$ (im Gradmaß) und $\sin(2/9 \cdot \pi)$ (im Bogenmaß) dasselbe sein. Überprüfe das und übe den Umgang.
