Winkelfunktionen
Eine einfache Modellierung
Das Rotorblatt wird durch Punkt $C$ dargestellt. Weil ein Einheitskreis ausgewählt worden ist, kann man die Position des Rotorblattes besonders einfach berechnen. Für das echte Windrad müssen wir später weitere Rechnungen durchführen. Es bietet sich aber oft an, ein gegebenes Problem erst einmal zu vereinfachen, um zu erkennen, wie es gelöst werden kann.
Unser Ziel ist nun klar: Wir wollen aus dem Winkel (den man ja in der Praxis recht einfach messen kann) die Koordinaten von $P$ bestimmen.
Aufgabe 1
Finde eine Formel für die Koordinaten von $P$. Betrachte dabei erst einmal nur Winkel zwischen $0°$ und $90°$. Benutze das Applet unten.
Die Koordinaten entsprechen genau der Länge der beiden farbigen Strecken. Die wurden bereits bei den Winkelfunktionen am Einheitskreis verwendet.
Zum Herunterladen: windrad_2.ggb
Weitere Winkel mit Symmetrie
Mithilfe von Aufgabe 1 solltest du in der Lage sein, die Koordinaten von $P$ für alle Winkel zwischen $0°$ und $90°$ zu bestimmen. Für die anderen kann man auf Symmetrie zurückgreifen.
Beispiel: Bei $\alpha = 110°$ ist $P$ an der gleichen Stelle wie bei $\alpha = 70°$ – nur einmal an der $y$-Achse gespiegelt.
- Also bestimmen wir die Koordinaten für $70°$, sie betragen $(\cos(\alpha)|\sin(\alpha)) \approx (0,34 | 0,94)$.
- Spiegeln an der $y$-Achse bedeutet, dass das Vorzeichen der $x$-Koordiante geändert wird. Wir erhalten für $\alpha=110°$ also $P(-0,34 | 0,94)$.
Aufgabe 2
Bestimme auf die gleiche Weise wie im Beispiel die Koordinaten für $\alpha=250°$ und $\alpha = 290°$.
Der schnelle Weg
Das Vorgehen aus Aufgabe 2 ist recht aufwändig. Ein bisschen erinnert es daran, wie wir zu Beginn die Werte von Winkelfunktionen bestimmt haben: Wir haben gezeichnet, gemessen und gerechnet. Praktischer war es, sie einfach aus einer Tabelle abzulesen – vor allem, weil diese Tabelle auch im Taschenrechner vorhanden ist.
Für die Winkel $0°$ bis $90°$ sind die Koordinaten von $P$ einfach die Werte vom Sinus und Kosinus: $P(\cos(\alpha)|\sin(\alpha))$. Erklären konnten wir das mit der Länge der blauen und grünen Strecke. Weil aber die Koordinaten von $P$ auch für Winkel von mehr als $90°$ interessant sind, sollten wir diese auch abspeichern. Dazu legen wir nun fest:
Für beliebige Winkel $\alpha$ (insbesondere also auch für $\alpha > 90°$) ist $\sin(\alpha)$ die $y$-Koordinate von $P$ und $\cos(\alpha)$ die $x$-Koordinate von $P$ aus dem Applet oben.
Auf diese Weise erweitern wir den Definitionsbereich der Winkelfunktionen. Für Werte von mehr als $90°$ entspricht das keinem rechtwinkligen Dreieck mehr. Aber da wir bereits für die Winkel bis zu $90°$ festgestellt haben, dass die Winkelfunktionen genau den Koordinanten eines Punktes auf dem Einheitskreis entsprechen, ist es nur logisch, das auch für andere Winkel so festzulegen.
Aufgabe 3
Bestimme mit deinen Taschenrechner $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ für $\alpha=250°$ und $\alpha=290°$. Vergleiche mit deinen Ergebnissen aus Aufgabe 2.
Aufgabe 4
Sinus und der Kosinus können nun negative Werte annehmen. Das ist auf den ersten Blick überraschend – vor allem, wenn wir sie doch mit der Länge von bestimmten Strecken erklären. Tatsächlich kann man das aber weiterhin tun; man muss nur die Richtung der Strecken (nach oben/unten bzw. nach rechts/links) berücksichtigt.
Mache dir diesen Zusammenhang am nachfolgenden Applet klar. Erkläre, warum die Beschriftung der blauen und grünen Linie auch für Winkel von mehr als $90°$ stimmig ist. Wann hat eine Linie nun eine „negative Länge“?
Zum Herunterladen: windrad_3.ggb
