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Eine Lösestrategie

Eine Problem auf ein bereits gelöstes Problem zurückführen

Wir betrachten die folgende Problemsituation.

Gegeben sind eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ mit Hilfe passender Gleichungen. Die Gerade $g$ verläuft dabei parallel zu $E$.

Gesucht ist der Abstand $d(g, E)$ zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$.

Zum Herunterladen: abstandge2.ggb

Da der Abstand von der Geraden zur Ebene überall gleich groß ist, kann man ihn an beliebiger Stelle auf der Geraden bewstimmen. Zweckmäßig ist es, den Stützpunkt $P$ der Geraden zu wählen, da dieser Punkt mit einer gegebenen Geradengleichung direkt vorliegt. Man nutzt also folgende Problemreduktion:

$d(g, E) = d(P, E)$

Den Abstand von $d(P, E)$ vom Punkt $P$ zur Ebene $E$ bestimmt man jetzt mit dem bereits bekannten Verfahren aus den letzten Kapitel.

Die Strategie am Beispiel erproben

Benutze folgende Daten:

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0.75 \\ 1 \\ -0.75 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$

$E: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) = 0$

Aufgabe 2

Bestimme - wie oben beschrieben - den Abstand des Stützpunktes $P(3|2.5|-0.5)$ von der Ebene $E$.

Schritt 1: Eine Hilfsgerade $h$ bestimmen, die durch $P$ geht und orthogonal zur Ebene $E$ ist.

$h$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0.75 \\ 1 \\ -0.75 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Schritt 2: Den Schnittpunkt $F$ der Geraden $h$ mit der Ebene $E$ bestimmen.

Man erhält den Schnittpunkt $F(0|1|0.25)$.

Schritt 3: Den Abstand von $P$ und $F$ bestimmen.

$d(P, F) = \left|\left(\begin{array}{c} -0.75 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right| = 1.25$

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