Eine zweite Lösestrategie
Den Abstand eines Punktes von einer Ebene systematisch bestimmen
Wir betrachten folgende Problemsituation:
Gegeben: $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right)$ und $P(3|3|0)$
Gesucht: der Abstand $d(P, g)$ vom Punkt $P$ zur Geraden $g$
Zum Herunterladen: abstandpg4.ggb
Strategie: Eine Hilfsebene benutzen
Einen Lotfußpunkt $F$ kann man alternativ bestimmen, indem man eine Hilfsebene $H$ nutzt.
Schritt 1: Eine Hilfsebene $H$ bestimmen, die durch $P$ geht und orthogonal zur Geraden $g$ ist.
Schritt 2: Den Schnittpunkt $F$ der Geraden $g$ mit der Hilgsebene $H$ bestimmen.
Schritt 3: Den Abstand von $P$ und $F$ bestimmen.
Aufgabe 4
Beschreibe die Ebene $H$ mit einer Ebenengleichung in Normalenform.
$H: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
Aufgabe 5
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $F$.
Man löst die folgende Gleichung:
$\left[\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
Man erhält $t = 2$ und hiermit $F(2|1|2)$.
Aufgabe 6
Bestimme den Abstand von $P$ und $F$.
$d(P, F) = \left|\left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)\right| = \sqrt{9} = 3$
Aufgabe 7
Vergleiche die beiden Strategien. Warum ist der inhaltliche Kern bei beiden gleich?
Aufgabe 8
Das Vorgehen benutzt die Strategie "Problemlösen durch eine Rückführung auf ein bereits lösbares Problem". Erläutere diese Strategie mit Hilfe der folgenden Formel:
$d(P, g) = d(P, F)$.
