o-mathe | Hochspannungsleitungen » Eine zweite Lösestrategie

Eine zweite Lösestrategie

Den Abstand eines Punktes von einer Ebene systematisch bestimmen

Wir betrachten folgende Problemsituation:

Gegeben: $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0 \end{matrix})$ und $P (3 | 3 | 0)$

Gesucht: der Abstand $d (P, g)$ vom Punkt $P$ zur Geraden $g$

Zum Herunterladen: abstandpg2.ggb

Strategie: Eine Hilfsebene benutzen

Den Fußpunkt $F$ kann man alternativ bestimmen, indem man eine Hilfsebene $H$ nutzt.

Schritt 1: Eine Hilfsebene $H$ bestimmen, die durch $P$ geht und orthogonal zur Geraden $g$ ist.

Schritt 2: Den Schnittpunkt $F$ der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ bestimmen.

Schritt 3: Den Abstand von $P$ und $F$ bestimmen.

Aufgabe 4

Beschreibe die Ebene $H$ mit einer Ebenengleichung in Normalenform.

$H : [\vec{x} - (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0 \end{matrix}) = 0$

Aufgabe 5

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $F$ .

Man löst die folgende Gleichung:

$[(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0 \end{matrix}) = 0$

Man erhält $t = 2$ und hiermit $F (2 | 1 | 2)$ .

Aufgabe 6

Bestimme den Abstand von $P$ und $F$ .

$d (P, F) = | (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) | = \sqrt{9} = 3$

Aufgabe 7

Vergleiche die beiden Strategien. Warum ist der inhaltliche Kern bei beiden gleich?

Aufgabe 8

Das Vorgehen benutzt die Strategie "Problemlösen durch eine Rückführung auf ein bereits lösbares Problem". Erläutere diese Strategie mit Hilfe der folgenden Formel:

$d (P, g) = d (P, F)$ .

←Zurück