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Zusammenfassung - Abstand zu einer Ebene

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Wir betrachten diese Problemsituation:

Gegeben ist eine Ebene $E$ mit einer geeigneten Ebenengleichung sowie ein Punkt $P$ .

Gesucht ist der Abstand $d (P, E)$ vom Punkt $P$ zur Ebene $E$ .

Das Applet verdeutlicht das Vorgehen beim Lösen dieses Problems.

Zum Herunterladen: abstandpe2.ggb

Schritt 1: Eine Hilfsgerade $h$ bestimmen, die durch $P$ geht und orthogonal zur Ebene $E$ ist.

Schritt 2: Den Schnittpunkt $F$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ bestimmen. Man nennt ihn auch Lotfußpunkt.

Schritt 3: Den Abstand von $P$ und $F$ bestimmen.

Problemreduktion:

Das Problem "Abstand eines Punktes $P$ zu einer Ebene $E$ " lässt sich auf das Problem "Abstand zwischen zwei Punkten" zurückführen (man sagt auch: reduzieren), indem man den zugehörigen Lotfußpunkt $F$ bestimmt. Wir beschreiben diese Problemreduktion kurz mit folgender Formel.

$d (P, E) = d (P, F)$

Abstand einer Geraden von einer Ebene

Wir betrachten diese Problemsituation.

Gegeben sind eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ mit Hilfe passender Gleichungen. Vorausgesetzt wird, dass die Gerade $g$ parallel zu $E$ ist (oder in der Ebene liegt).

Gesucht ist der Abstand $d (g, E)$ zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ .

Zum Herunterladen: abstandge2.ggb

Da der Abstand von der Geraden zur Ebene überall gleich groß ist, kann man ihn an beliebiger Stelle auf der Geraden bestimmen. Zweckmäßig ist es, den Stützpunkt $P$ der Geraden zu wählen, da dieser Punkt mit einer gegebenen Geradengleichung direkt vorliegt. Man nutzt also folgende Problemreduktion:

Problemreduktion:

Das Problem "Abstand einer parallelen Geraden $g$ zu einer Ebene $E$ " lässt sich auf das Problem "Abstand eines Punktes von einer Ebene" zurückführen, indem man den Abstand des Stützpunktes der Geraden zur Ebene bestimmt. Wir beschreiben diese Problemreduktion kurz mit folgender Formel.

$d (g, E) = d (P, E)$

Abstand zweier paralleler Ebenen

Wir betrachten diese Problemsituation.

Gegeben sind zwei Ebenen $E_{1}$ und $E_{1}$ mit Hilfe passender Gleichungen. Vorausgesetzt wird, dass die beiden Ebenen parallel (oder identisch) sind.

Gesucht ist der Abstand $d (E_{1}, E_{2})$ zwischen den Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ .

Zum Herunterladen: abstandee2.ggb

Da der Abstand der beiden parallelen Ebenen überall gleich groß ist, kann man ihn an beliebiger Stelle bestimmen. Zweckmäßig ist es, den Stützpunkt von einer der beiden Ebenen zu wählen und den Abstand dieses Punktes zur anderen Ebene zu bestimmen. Man nutzt also folgende Problemreduktion:

Problemreduktion:

Das Problem "Abstand zweier paralleler Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ " lässt sich auf das Problem "Abstand eines Punktes von einer Ebene" zurückführen, indem man den Abstand des Stützpunktes einer Ebene zu der anderen Ebene bestimmt. Wir beschreiben diese Problemreduktion kurz mit folgender Formel.

$d (E_{1}, E_{2}) = d (P_{2}, E_{1})$ bzw. $d (E_{1}, E_{2}) = d (P_{1}, E_{2})$

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Abstand eines Punktes von einer Ebene

Abstand einer Geraden von einer Ebene

Abstand zweier paralleler Ebenen

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