Eine erste Lösung
Den Abstand windschiefer Geraden systematisch bestimmen
Wir betrachten folgende Problemsituation:
Gegeben: zwei windschiefe Geraden $g$ und $h$ mit
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$
Gesucht: der (geringste) Abstand $d(g, h)$ der beiden Geraden
Zum Herunterladen: abstandggw2.ggb
Strategie: Die Orthogonalität von Vektoren benutzen
Den geringsten Abstand zwischen $g$ und $h$ erhält man, indem man Punkte $X$ auf $g$ und $Y$ auf $h$ sucht, die folgende Orthogonalitätsbedingungen erfüllen:
$\overrightarrow{XY} \cdot \vec{u} = 0$ und $\overrightarrow{XY} \cdot \vec{v} = 0$
Schritt 1: Die Orthogonalitätsbedingungen $\overrightarrow{XY} \cdot \vec{u} = 0$ und $\overrightarrow{XY} \cdot \vec{v} = 0$ auswerten.
Schritt 2: Die Punkte $X$ und $Y$ bestimmen.
Schritt 3: Den Abstand von $X$ und $Y$ bestimmen.
Aufgabe 1
(a) Erläutere den folgenden Ansatz:
$\overrightarrow{OX} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2+r \\ -3+2r \\ 5 \end{array}\right)$
$\overrightarrow{OY} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1+2s \\ -2+2s \\ 1+s \end{array}\right)$
(b) Erkläre die Rechnung:
$\overrightarrow{XY} = \left(\begin{array}{c} -1+2s \\ -2+2s \\ 1+s \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} -2+r \\ -3+2r \\ 5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1+2s-r \\ 1+2s-2r \\ -4+s \end{array}\right)$
(c) Ergänze die fehlenden Umformungen:
$\overrightarrow{XY} \cdot \vec{u} = 0$ $\Leftrightarrow$ ... $\Leftrightarrow$ $3 + 6s - 5r = 0$
$\overrightarrow{XY} \cdot \vec{v} = 0$ $\Leftrightarrow$ ... $\Leftrightarrow$ $9s - 6r = 0$
(d) Löse das entstehende Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3 & + & 6s & - & 5r & = & 0 \\ [2] &\quad & & 9s & - & 6r & = & 0 \end{array}$
$r = 3; s = 2$
Aufgabe 2
Bestimme die Koordinaten der Punkte $X$ und $Y$.
Durch Einsetzen in die Geradengleichungen erhält man:
$\overrightarrow{OX} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right) + 3 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}\right)$
$\overrightarrow{OY} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) + 2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$
Aufgabe 3
Bestimme den Abstand von $X$ und $Y$.
$d(X, Y) = \left|\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right)\right| = \sqrt{9} = 3$
