o-mathe | Flugrouten » Eine erste Lösung

Eine erste Lösung

Den Abstand windschiefer Geraden systematisch bestimmen

Wir betrachten folgende Problemsituation:

Gegeben: zwei windschiefe Geraden $g$ und $h$ mit

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$

$h : \vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$

Gesucht: der (geringste) Abstand $d (g, h)$ der beiden Geraden

Zum Herunterladen: abstandggw2.ggb

Strategie: Die Orthogonalität von Vektoren benutzen

Den geringsten Abstand zwischen $g$ und $h$ erhält man, indem man Punkte $X$ auf $g$ und $Y$ auf $h$ sucht, die folgende Orthogonalitätsbedingungen erfüllen:

$\vec{X Y} \cdot \vec{u} = 0$ und $\vec{X Y} \cdot \vec{v} = 0$

Schritt 1: Die Orthogonalitätsbedingungen $\vec{X Y} \cdot \vec{u} = 0$ und $\vec{X Y} \cdot \vec{v} = 0$ auswerten.

Schritt 2: Die Punkte $X$ und $Y$ bestimmen.

Schritt 3: Den Abstand von $X$ und $Y$ bestimmen.

Aufgabe 1

(a) Erläutere den folgenden Ansatz:

$\vec{O X} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 + r \\ - 3 + 2 r \\ 5 \end{matrix})$

$\vec{O Y} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 + 2 s \\ - 2 + 2 s \\ 1 + s \end{matrix})$

(b) Erkläre die Rechnung:

$\vec{X Y} = (\begin{matrix} - 1 + 2 s \\ - 2 + 2 s \\ 1 + s \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 + r \\ - 3 + 2 r \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 + 2 s - r \\ 1 + 2 s - 2 r \\ - 4 + s \end{matrix})$

$\vec{X Y} \cdot \vec{u} = 0$ $\Leftrightarrow$ ... $\Leftrightarrow$ $3 + 6 s - 5 r = 0$

$\vec{X Y} \cdot \vec{v} = 0$ $\Leftrightarrow$ ... $\Leftrightarrow$ $9 s - 6 r = 0$

(d) Löse das entstehende Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 3 & + & 6 s & - & 5 r & = & 0 \\ [2] & 9 s & - & 6 r & = & 0 \end{array}$

$r = 3; s = 2$

Aufgabe 2

Bestimme die Koordinaten der Punkte $X$ und $Y$ .

Durch Einsetzen in die Geradengleichungen erhält man:

$\vec{O X} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \\ 5 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix})$

$\vec{O Y} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$

Aufgabe 3

Bestimme den Abstand von $X$ und $Y$ .

$d (X, Y) = | (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) | = \sqrt{9} = 3$

←Zurück Weiter→