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Eine zweite Lösung

Den Abstand windschiefer Geraden systematisch bestimmen

Wir betrachten folgende Problemsituation:

Gegeben: zwei windschiefe Geraden $g$ und $h$ mit

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$

$h : \vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$

Gesucht: der (geringste) Abstand $d (g, h)$ der beiden Geraden

Zum Herunterladen: abstandggw3.ggb

Strategie: Eine Hilfsebene benutzen

Wenn man eine Parallele $g^{'}$ zu $g$ durch $Q$ konstruiert und analog eine Parallele $h^{'}$ zu $h$ durch $P$ , dann entsteht folgende Konstellation.

Die Geraden $g$ und $h^{'}$ legen eine Hilfsebene $G$ fest. Entsprechend legen die Geraden $h$ und $g^{'}$ eine Hilfsebene $H$ fest.

Die beiden Ebenen $G$ und $H$ sind parallel, da die Geraden, aus denen die Ebenen entstanden sind, parallel sind.

Der geringste Abstand zwischen Punkten von $g$ und $h$ entspricht genau dem Abstand der beiden Hilfsebenen $G$ und $H$ .

Zur Bestimmung des gesuchten Abstandes kann man diese Problemreduktionen nutzen:

$d (g, h) = d (G, H) = d (P, H) = d (Q, G)$

Wir gehen hier folgenden Weg:

Schritt 1: Eine Hilfsebene $H$ bestimmen, die durch die beiden Geraden $h$ und $g^{'}$ aufgespannt wird.

Schritt 2: Den Abstand von $P$ zur Hilfsebene $H$ bestimmen.

Aufgabe 1

(a) Begründe, dass man die Ebene $H$ mit folgender Ebenengleichung in Parameterform beschreiben kann:

H: $\vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ (mit $r, s \in R$ )

(b) Beschreibe die Ebene $H$ auch mit einer Ebenengleichung in Normalenform.

$H : [\vec{x} - (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 1 \end{matrix}) = 0$

Aufgabe 2

(a) Bestimme die Koordinaten eines Lotfußpunktes $F$ , der entsteht, wenn man das Lot vom Punkt $P$ auf die Hilfsebene $H$ fällt. Nutze hierzu eine geeignete Hilfsgerade $i$ , die orthogonal zu $H$ ist und durch $P$ geht.

Man löst die folgende Gleichung:

$[(\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \\ 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 1 \end{matrix}) = 0$

Mit $t = - 2$ erhält man $F (0 | - 4 | 3)$ .

(b) Bestimme den Abstand von $P$ und $F$ .

$d (P, F) = | (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) | = \sqrt{9} = 3$

Aufgabe 3

Das Vorgehen benutzt die Strategie "Problemlösen durch eine Rückführung auf ein bereits lösbares Problem". Erläutere diese Strategie mit Hilfe der folgenden Formel: