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Eine erste Lösestrategie

Den Abstand eines Punktes von einer Ebene systematisch bestimmen

Wir betrachten folgende Problemsituation:

Gegeben: $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0 \end{matrix})$ und $P (3 | 3 | 0)$

Gesucht: der Abstand $d (P, g)$ vom Punkt $P$ zur Geraden $g$

Zum Herunterladen: abstandpg3.ggb

Strategie: Die Orthogonalität von Vektoren benutzen

Der geringste Abstand von $P$ zur Geraden $g$ führt zu einem Fußpunkt $F$ auf $g$ . Der Fußpunkt $F$ ist der Punkt $X$ auf der Geraden $g$ , für den $\vec{P X}$ orthogonal zum Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden ist.

Schritt 1: Die Orthogonalitätsbedingung $\vec{P X} \cdot \vec{u} = 0$ auswerten.

Schritt 2: Den Lotfußpunkt $F$ bestimmen.

Schritt 3: Den Abstand von $P$ und $F$ bestimmen.

Aufgabe 1

(a) Erläutere die folgenden Umformungen.

$\vec{P X} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 - t \\ - 3 + 0.5 t \\ 2 \end{matrix})$

$\vec{P X} \cdot \vec{u} = (\begin{matrix} 1 - t \\ - 3 + 0.5 t \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0 \end{matrix}) = - 2.5 + 1.25 t$

(b) Nutze die Orthogonalitätsbedingung $\vec{P X} \cdot \vec{u} = 0$ , um einen Wert für den Parameter $t$ zu bestimmen.

$\vec{P X} \cdot \vec{u} = 0 \Leftrightarrow - 2.5 + 1.25 t = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Aufgabe 2

Bestimme mit dem Wert für $t$ aus Aufgabe 1 die Koordinaten des Lotfußpunktes $F$ .

Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhält man:

$\vec{O F} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$

Aufgabe 3

Bestimme den Abstand von $P$ und $F$ .

$d (P, F) = | (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) | = \sqrt{9} = 3$

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