Eine erste Lösestrategie
Den Abstand eines Punktes von einer Ebene systematisch bestimmen
Wir betrachten folgende Problemsituation:
Gegeben: $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right)$ und $P(3|3|0)$
Gesucht: der Abstand $d(P, g)$ vom Punkt $P$ zur Geraden $g$
Zum Herunterladen: abstandpg3.ggb
Strategie: Die Orthogonalität von Vektoren benutzen
Damit der Vektor $\overrightarrow{PX}$ zum geringsten Abstand führt, muss $\overrightarrow{PX}$ orthogonal zum Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden sein.
Schritt 1: Die Orthogonalitätsbedingung $\overrightarrow{PX} \cdot \vec{u} = 0$ auswerten.
Schritt 2: Den Lotfußpunkt $F$ bestimmen.
Schritt 3: Den Abstand von $P$ und $F$ bestimmen.
Aufgabe 1
(a) Erläutere die folgenden Umformungen.
$\overrightarrow{PX} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1-t \\ -3+0.5t \\ 2 \end{array}\right)$
$\overrightarrow{PX} \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c} 1-t \\ -3+0.5t \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right) = -2.5 + 1.25t$
(b) Nutze die Orthogonalitätsbedingung $\overrightarrow{PX} \cdot \vec{u} = 0$, um einen Wert für den Parameter $t$ zu bestimmen.
$\overrightarrow{PX} \cdot \vec{u} = 0 \Leftrightarrow -2.5 + 1.25t = 0 \Leftrightarrow t = 2$
Aufgabe 2
Bestimme mit dem Wert für $t$ aus Aufgabe 1 die Koordinaten des Lotfußpunktes $F$.
Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhält man:
$\overrightarrow{OF} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + 2 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$
Aufgabe 3
Bestimme den Abstand von $P$ und $F$.
$d(P, F) = \left|\left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)\right| = \sqrt{9} = 3$
