Eine erste Lösestrategie

Den Abstand eines Punktes von einer Ebene systematisch bestimmen

Wir betrachten folgende Problemsituation:

Gegeben: $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right)$ und $P(3|3|0)$

Gesucht: der Abstand $d(P, g)$ vom Punkt $P$ zur Geraden $g$

Zum Herunterladen: abstandpg3.ggb

Strategie: Die Orthogonalität von Vektoren benutzen

Der geringste Abstand von $P$ zur Geraden $g$ führt zu einem Fußpunkt $F$ auf $g$. Der Fußpunkt $F$ ist der Punkt $X$ auf der Geraden $g$, für den $\overrightarrow{PX}$ orthogonal zum Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden ist.

Schritt 1: Die Orthogonalitätsbedingung $\overrightarrow{PX} \cdot \vec{u} = 0$ auswerten.

Schritt 2: Den Lotfußpunkt $F$ bestimmen.

Schritt 3: Den Abstand von $P$ und $F$ bestimmen.

Aufgabe 1

(a) Erläutere die folgenden Umformungen.

$\overrightarrow{PX} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1-t \\ -3+0.5t \\ 2 \end{array}\right)$

$\overrightarrow{PX} \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c} 1-t \\ -3+0.5t \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right) = -2.5 + 1.25t$

(b) Nutze die Orthogonalitätsbedingung $\overrightarrow{PX} \cdot \vec{u} = 0$, um einen Wert für den Parameter $t$ zu bestimmen.

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Aufgabe 2

Bestimme mit dem Wert für $t$ aus Aufgabe 1 die Koordinaten des Lotfußpunktes $F$.

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Aufgabe 3

Bestimme den Abstand von $P$ und $F$.

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