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Zusammenfassung - Abstand Punkt-Punkt

Ein Beispiel

Gegeben sind die beiden Punkte $P (- 2 | 3 | 0)$ und $Q (3 | - 1 | 4)$ .

Gesucht ist der Abstand $d (P, Q)$ der beiden Punkte $P$ und $Q$ .

Der Abstand der beiden Punkte $P$ und $Q$ entspricht der Länge des Vektorpfeils von $P$ nach $Q$ (bzw. der Länge des Vektorpfeils von $Q$ nach $P$ ). Die Länge dieses Vektorpfeils erhält man, indem man den Betrag des Vektors bestimmt. Es gilt also:

$d (P, Q) = | \vec{P Q} | = | (\begin{matrix} 5 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix}) | = \sqrt{5^{2} + (- 4)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{57} \approx 7.55$

Verallgemeinerung

Satz:

Den Abstand $d (P, Q)$ zweier Punkt $P$ und $Q$ berechnet man mit Hilfe des Betrags des Vektors $\vec{P Q}$ bzw. $\vec{Q P}$ . Wenn $P$ die Koordinaten $P (p_{1} | p_{2} | p_{3})$ und $Q$ die Koordinaten $Q (q_{1} | q_{2} | q_{3})$ hat, dann gilt:

$d (P, Q) = | \vec{P Q} | = | (\begin{matrix} q_{1} - p_{1} \\ q_{2} - p_{2} \\ q_{3} - p_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{(q_{1} - p_{1})^{2} + (q_{2} - p_{2})^{2} + (q_{3} - p_{3})^{2}}$

Entsprechend gilt:

$d (P, Q) = | \vec{Q P} | = | (\begin{matrix} p_{1} - q_{1} \\ p_{2} - q_{2} \\ p_{3} - q_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{(p_{1} - q_{1})^{2} + (p_{2} - q_{2})^{2} + (p_{3} - q_{3})^{2}}$

Im 2D-Fall geht man völlig analog vor.

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