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Den Abstand windschiefer Geraden systematisch bestimmen

Im letzten Abschnitt bist du auf folgendes Problem gestoßen:

Gegeben: zwei windschiefe Geraden $g$ und $h$

Gesucht: der (geringste) Abstand $d(g, h)$ der beiden Geraden

Zum Herunterladen: abstandggw2.ggb

Strategie 1: Die Orthogonalität von Vektoren benutzen

Aufgabe 1

Begründe, dass man zur Bestimmung des gesuchten Abstandes folgende Orthogonalitätsbedingungen.

$\overrightarrow{XY} \cdot \vec{u} = 0$ und $\overrightarrow{XY} \cdot \vec{v} = 0$

Strategie 2: Hilfsebenen benutzen

Wenn man eine Parallele $g'$ zu $g$ durch $Q$ konstruiert und analog eine Parallele $h'$ zu $h$ durch $P$, dann entsteht folgende Konstellation.

Zum Herunterladen: abstandggw3.ggb

Die Geraden $g$ und $h'$ legen eine Hilfsebene $G$ fest. Entsprechend legen die Geraden $h$ und $g'$ eine Hilfsebene $H$ fest.

Die beiden Ebenen $G$ und $H$ sind parallel, da die Geraden, aus denen die Ebenen entstanden sind, parallel sind.

Der Vektor $\overrightarrow{XY}$ zum geringsten Abstand der beiden Geraden $g$ und $h$ ist orthogonal zu den Ebenen $G$ und $H$.

Aufgabe 2

Begründe, dass man zur Bestimmung des gesuchten Abstandes folgende Problemreduktionen nutzen kann.

$d(g, h) = d(G, H) = d(P, H) = d(Q, G)$

Eine Strategie verwenden

Wähle eine Strategie aus und bestimme Abstand der beiden folgenden Geraden.

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$

$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$

Hinweis: Im folgenden Abschnitt gibt es weitere Hilfen, wenn du das alleine nicht schaffst.