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Strategie zur Abstandsbestimmung

Den Abstand eines Punktes von einer Ebene systematisch bestimmen

Wir betrachten folgende Problemsituation:

Gegeben: $E : [\vec{x} - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = 0$ und $P (0 | 0 | 3)$

Gesucht: der Abstand $d (P, E)$ vom Punkt $P$ zur Ebene $E$

Zum Herunterladen: abstandpe2.ggb

Das Applet verdeutlicht das Vorgehen.

Schritt 1: Eine Hilfsgerade $h$ bestimmen, die durch $P$ geht und orthogonal zur Ebene $E$ ist.

Schritt 2: Den Schnittpunkt $F$ der Geraden $h$ mit der Ebene $E$ bestimmen. Man nennt ihn auch Lotfußpunkt.

Schritt 3: Den Abstand von $P$ und $F$ bestimmen.

Aufgabe 1

Beschreibe die Gerade $h$ mit einer Geradengleichung in Parameterform.

Die Geradengleichung sieht so aus:

$h$ : $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ (mit $t \in R$ )

Da $\vec{p}$ der Stützvektor der Geraden ist, brauchst du hier die Koordinaten eines Punktes, der auf der Geraden liegt. Da kommt eigentlich nur ein Punkt infrage. Der Richtungsvektor $\vec{u}$ verläuft in Richtung der Geraden, also orthogonal zur Ebene.

Aufgabe 2

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $F$ .

Ersetze in der Gleichung $E : [\vec{x} - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = 0$ das $\vec{x}$ durch den Ausdruck für $\vec{x}$ aus der Geradengleichung. Du erhältst eine Gleichung. Multipliziere das Skalarprodukt aus und stelle nach $t$ um. Zum Schluss must du dieses $t$ noch in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordianten von $F$ zu berechnen.

Zur Kontrolle: $F (2 / 3 | 2 / 3 | 7 / 3)$ .

Aufgabe 3

Bestimme den Abstand von $P$ und $F$ .

Jetzt musst du nur noch $d (P, F) = | \vec{P F} |$ berechnen. Zur Kontrolle: $d (P, F) = \sqrt{4 / 3} \approx 1.15$ .

Aufgabe 4

Das Vorgehen benutzt die Strategie Problemlösen durch eine Rückführung auf ein bereits lösbares Problem. Erläutere diese Strategie mit Hilfe der folgenden Formel:

$d (P, E) = d (P, F)$ .

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