i

Strategie zur Abstandsbestimmung

Den Abstand eines Punktes von einer Ebene systematisch bestimmen

Wir betrachten folgende Problemsituation:

Gegeben: $E: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) = 0$ und $P(0|0|3)$

Gesucht: der Abstand $d(P, E)$ vom Punkt $P$ zur Ebene $E$

Zum Herunterladen: abstandpe2.ggb

Die Animation verdeutlicht das Vorgehen.

Schritt 1: Eine Hilfsgerade $h$ bestimmen, die durch $P$ geht und orthogonal zur Ebene $E$ ist.

Schritt 2: Den Schnittpunkt $F$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ bestimmen. Man nennt ihn auch Lotfußpunkt.

Schritt 3: Den Abstand von $P$ und $F$ bestimmen.

Aufgabe 1

Beschreibe die Gerade $h$ mit einer Geradengleichung in Parameterform.

Die Geradengleichung sieht so aus:

$h$: $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Da $\vec{p}$ der Stützvektor der Geraden ist, brauchst du hier die Koordinaten eines Punktes, der auf der Geraden liegt. Da kommt eigentlich nur ein Punkt infrage. Der Richtungsvektor $\vec{u}$ verläuft in Richtung der Geraden, also orthogonal zur Ebene.

Aufgabe 2

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $F$.

Ersetze in der Gleichung $E: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) = 0$ das $\vec{x}$ durch den Ausdruck für $\vec{x}$ aus der Geradengleichung. Du erhältst eine Gleichung. Multipliziere das Skalarprodukt aus und stelle nach $t$ um. Zum Schluss must du dieses $t$ noch in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordianten von $F$ zu berechnen.

Zur Kontrolle: $F(2/3|2/3|7/3)$.

Aufgabe 3

Bestimme den Abstand von $P$ und $F$.

Jetzt musst du nur noch $d(P, F) = | \overrightarrow{PF} |$ berechnen. Zur Kontrolle: $d(P, F) = \sqrt{4/3} \approx 1.15$.

Aufgabe 4

Das Vorgehen benutzt die Strategie Problemlösen durch eine Rückführung auf ein bereits lösbares Problem. Erläutere diese Strategie mit Hilfe der folgenden Formel:

$d(P, E) = d(P, F)$.

Suche

v
4.6.2.1.1.3
o-mathe.de/analytische-geometrie/abstaende/ebene/abstand_p_e/lernstrecke/loesung
o-mathe.de/4.6.2.1.1.3

Rückmeldung geben