Strategie zur Abstandsbestimmung
Den Abstand eines Punktes von einer Ebene systematisch bestimmen
Wir betrachten folgende Problemsituation:
Gegeben: $E: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) = 0$ und $P(0|0|3)$
Gesucht: der Abstand $d(P, E)$ vom Punkt $P$ zur Ebene $E$
Zum Herunterladen: abstandpe2.ggb
Das Applet verdeutlicht das Vorgehen.
Schritt 1: Eine Hilfsgerade $h$ bestimmen, die durch $P$ geht und orthogonal zur Ebene $E$ ist.
Schritt 2: Den Schnittpunkt $F$ der Geraden $h$ mit der Ebene $E$ bestimmen. Man nennt ihn auch Lotfußpunkt.
Schritt 3: Den Abstand von $P$ und $F$ bestimmen.
Aufgabe 1
Beschreibe die Gerade $h$ mit einer Geradengleichung in Parameterform.
Die Geradengleichung sieht so aus:
$h$: $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
Da $\vec{p}$ der Stützvektor der Geraden ist, brauchst du hier die Koordinaten eines Punktes, der auf der Geraden liegt. Da kommt eigentlich nur ein Punkt infrage. Der Richtungsvektor $\vec{u}$ verläuft in Richtung der Geraden, also orthogonal zur Ebene.
Aufgabe 2
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $F$.
Ersetze in der Gleichung $E: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) = 0$ das $\vec{x}$ durch den Ausdruck für $\vec{x}$ aus der Geradengleichung. Du erhältst eine Gleichung. Multipliziere das Skalarprodukt aus und stelle nach $t$ um. Zum Schluss must du dieses $t$ noch in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordianten von $F$ zu berechnen.
Zur Kontrolle: $F(2/3|2/3|7/3)$.
Aufgabe 3
Bestimme den Abstand von $P$ und $F$.
Jetzt musst du nur noch $d(P, F) = | \overrightarrow{PF} |$ berechnen. Zur Kontrolle: $d(P, F) = \sqrt{4/3} \approx 1.15$.
Aufgabe 4
Das Vorgehen benutzt die Strategie Problemlösen durch eine Rückführung auf ein bereits lösbares Problem. Erläutere diese Strategie mit Hilfe der folgenden Formel:
$d(P, E) = d(P, F)$.
