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Übungen - Abstand Punkt-Punkt

Aufgabe 1: Abstandsberechnungen an einer Pyramide

Das Applet zeigt eine Pyramide mit einer sechseckigen Grundfläche. Die Eckpunkte entstehen dabei als Mittelpunkte von Würfelkanten. Gehe davon aus, dass der Würfel die Kantenlänge $6$ hat.

Zum Herunterladen: pyramide.ggb

(a) Zeige zunächst mit Hilfe von Vektoren, dass alle Seiten der sechseckigen Grundfläche gleich lang sind.

(b) Bestimme mit Hilfe geeigneter Vektoren die Länge der Pyramidenkanten zur Spitze.

(d) (etwas schwieriger) Bestimme das Volumen der Pyramide. Hierzu muss du dir geeignete Formeln besorgen (und die Höhe der Dreiecke berechnen, aus denen das Sechseck besteht).

Aufgabe 2: Eine 3D-Mittelsenkrechte

Gegeben sind zwei Punkte $P (1 | - 2 | 1)$ und $Q (- 4 | 2 | - 1)$ .

(a) Erkläre, was man im zweidimensionalen Fall unter einer Mittelsenkrechten versteht. Was hat die Mittelsenkrechte von $A$ und $B$ mit Abständen zu tun? Tipp: Betrachte für einen Punkt $C$ auf der Mittelsenkrechte die Abstände $d (A, C)$ und $d (B, C)$ .

(b) Im 3D-Fall ist die Mittelsenkrechte keine Gerade, sondern eine Ebene. Erkläre, warum das so ist. Verdeutliche dafür, dass es im 3D-Fall keine eindeutige Gerade gibt, die genau in der Mitte von zwei Punkten verläuft.

In jeder Ebenendarstellung brauchst du erstmal einen Stützpunkt auf der Ebene. Dafür bietet sich der Punkt $M$ in der Mitte von $P$ und $Q$ an. Du kannst den nötigen Stützvektor mit der Formel $\vec{O M} = \vec{O P} + \frac{1}{2} \cdot \vec{P Q}$ ausrechnen. Mache dir klar, wieso. Kontrolliere dein Ergebnis mit dem Applet unterhalb der Aufgabe (an Punkt $M$ heranzoomen).
Neben einem Stützvektor brauchst du noch einen oder mehrere Vektoren für die Ausrichtung der Ebene. Erinnere dich: Bei einer Ebenengleichung in Parameterform waren das zwei Vektoren. Wie müssen diese liegen? Bei einer Ebenengleichung in Normalenform war es nur ein Vektor. Wie muss dieser liegen? Warum ist es hier geschickt, die Ebenengleichung in Normalenform zu verwenden?

(d) Optional: Die Gerade $P Q$ wird durch $g : \vec{x} = \vec{O P} + t \cdot \vec{P Q}$ beschrieben. Erläutere kurz die Bestandteile dieser Geradengleichung. Bestimme dann rechnerisch den Schnittpunkt von Gerade und Ebene. Kontrolliere, ob das erwartete Ergebnis herauskommt.

Wenn du in Teil (c) eine Ebenengleichung in Normalenform (ENF) gefunden hast, musst du so vorgehen: Ersetze in der ENF das $\vec{x}$ (Das ist der Punkt, für den überprüft wird, ob er auf $E$ liegt.) durch $\vec{O P} + t \cdot \vec{P Q}$ (Das sind die Punkte der Geraden.). Multipliziere das Skalarprodukt aus und löse die entstehende Gleichung nach $t$ auf. Setze dann das gefundene $t$ in die Geradengleichung von $g$ ein.

(e) Optional: Wandle deine Ebenengleichung auch in die Koordinatenform um.

$E : - 2.5 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 3.75$ oder ein Vielfaches dieser Gleichung

(f) Einfach: Kontrolliere rechnerisch, ob die Punkte $R_{1} (0 | 2 | 0)$ , $R_{2} (0 | 1, 875 | 0)$ , $R_{3} (0 | 0 | 3, 75)$ und $R_{4} (0 | 0 | - 3, 75)$ auf der Ebene $E$ liegen. Vergleiche dann mit dem Applet unterhalb der Aufgabe.
Anspruchsvoller: Bestimme selbst vier Punkte, die auf der Ebene $E$ liegen.

(g) Kontrolliere mit Abstandsberechnungen, dass die auf $E$ liegenden Punkte aus Teil (e) den gleichen Abstand zu $P$ und $Q$ haben.

Zum Herunterladen: mittelsenkrechte.ggb

Aufgabe 3: Ein Abstandsspiel

In diesem Spiel sollt ihr (am besten zu zweit) eine Folge von Punkten erzeugen, die folgende Eigenschaften hat:

Alle Punkte der Folge haben ganzzahlige Koordinaten aus dem Bereich -5, -4, ..., 4, 5. Beispiel: $(- 2 | 4 | - 5)$
Als Startpunkt wird ein beliebiger Punkt gewählt, z.B. $(3 | 1 | - 2)$ .
Es werden abwechseln neue Punkte erzeugt und deren Abstand zum vorherigen Punkt bestimmt.
Ein(e) Spieler(in) gibt einen Abstand vor (z.B. $\sqrt{41}$ ). Der / die Spielpartner(in) muss einen Punkt im zulässigen Bereich bestimmen, der diesen Abstand vom bisher letzten Punkt hat.
Aber Achtung: Der vorgegebene Abstand muss erzeugbar sein. Das geht z.B. mit $\sqrt{7}$ nicht. Mit dem Abstand muss man auch im zulässigen Bereich bleiben können.
Die Punkte werden abwechselnd erzeugt und überprüft.

Eine Spielrunde mit den Spieler(innen) A und B könnte so beginnen:

Startpunkt: $P_{0} (3 | 1 | - 2)$

1. Runde:

A überlegt sich einen Bewegungsvektor - z.B. $(\begin{matrix} - 6 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ - und gibt dessen Abstand $\sqrt{41}$ (da $\sqrt{(- 6)^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{41}$ ) an B weiter.

B konstruiert einen Bewegungsvektor $\vec{v}$ mit $| \vec{v} | = 41$ , z.B. $\vec{v} = (\begin{matrix} - 6 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix})$ (da $\sqrt{(- 6)^{2} + (- 2)^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{41}$ ). B erzeugt dann den nächsten Punkt: $P_{1} (- 3 | - 1 | - 3)$ .

A überprüft, ob B alles korrekt gemacht hat. A kann hierzu das Applet (siehe unten) benutzen.

2. Runde:

B überlegt sich einen Bewegungsvektor und gibt dessen Abstand $\sqrt{32}$ an A weiter.

A konstruiert ...

B überprüft ...

(a) Führt das Spiel in eigener Regie durch. Dokumentiert ggf. die Ergebnisse.

(b) Kann man das Spiel beliebig lange spielen? Beachte die Spielregeln. Nach wie vielen Zügen ist spätestens das Ende erreicht?

Zum Herunterladen: spiel.ggb

Übungen - Abstand Punkt-Punkt

Aufgabe 1: Abstandsberechnungen an einer Pyramide

Aufgabe 2: Eine 3D-Mittelsenkrechte

Aufgabe 3: Ein Abstandsspiel

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