Strukturierung: Das Lotfußpunktverfahren
Analogien zum 2D-Fall
Oft versteht man 3D-Verfahren besser, wenn man geeignete Analogien aus der zweidimensionalen Welt findet. Tatsächlich ähnelt sich die hier entwickelte Strategie zur Abstandsberechnung Punkt-Ebene der Vorgehensweise, wie man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade in 2D bestimmt.
Aufgabe 1
(a) Zeichne auf Papier eine Gerade in ein 2D-Koordinatensystem und bestimme den Abstand zu einem Punkt $P$. Nutze dafür ein Geodreieck.
(b) Beschreibe: Was ist ähnlich zum 3D-Fall? Was ist anders? Kannst du für jeden Schritt im Vorgehen im Zweidimensionalen einen Partner im Dreidimensionalen finden?
(c) Wo ist im 3D-Fall die Ebenengleichung in Normalenform relevant?
(d) Wo kommt im 2D-Fall die Stratege Problemlösen durch eine Rückführung auf ein bereits lösbares Problem zum Tragen?
Das Lotfußpunktverfahren
Die kennengelernte Vorgehensweise zur Abstandsbestimmung heißt – sowohl in 2D als auch in 3D – Lotfußpunktverfahren.
Aufgabe 2
(a) Beschreibe das Lotfußpunktverfahren in 3D im folgenden Wissensspeicher; markiere, an welcher Stelle du die Ebenengleichung in Normalenform verwendest. Erkläre in der Box unten die genutzte Problemlösestrategie.
(b) Recherchiere, was man unter einem Schnurlot (oder auch Senkblei) sowie einem Handlot versteht. Wozu werden/wurden diese Geräte genutzt? Beschreibe den Zusammenhang zum Lotfußpunktverfahren.
Aufgabe 3 (Für Experten)
Wir betrachten noch einmal den 2D-Fall: Zeichne die Gerade, die durch die Punkte $A(2|3)$ und $B(4|7)$ verläuft. Wie weit ist diese Gerade vom Punkt $P(3|3)$ entfernt?
(a) Löse das Problem erst einmal graphisch wie in der linken Spalte des Wissensspeichers.
(b) Nun versuchen wir, das 2D-Problem rechnerisch zu lösen. Bestimme einen 2D-Vektor $\vec{n}$, der orthogonal zur Geraden verläuft. Erstelle daraus eine 2D-Gleichung in Normalenform für die 2D-Gerade $g$: $$g : \left[ \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right) \right] \cdot \vec{n} = 0.$$ Erkläre die Bestandteile dieser Gleichung. Wie wird hier die Lage und Ausrichtung der 2D-Geraden dargestellt?
(c) Bestimme nun eine 2D-Gleichung in Parameterform für die Hilfsgerade: $$h: \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \vec{p} + t\cdot \vec{n} \text{ (mit }t \in \mathbb{R}\text{)}$$ Erkläre die Bestandteile dieser Gleichung.
(d) Bestimme nun analog zum 3D-Fall rechnerisch den Abstand von $P$ zur Geraden. Vergleiche mit deinem Ergebnis aus (a).
