Erkundung – Drohnenshow

Eine Lichtshow mit Dohnen

Spektakuläre Lichtshows werden zunehmend mit Hilfe von Drohnen durchgeführt.

Aufgabe 1 (Einstieg)

(a) Sieh dir diesen Videobeitrag zum Tag der Deutschen Einheit 2021 an (bis Minute 13:05). Überlege: Welche Inhalte des Kapitels Vektoren werden benötigt, um so eine Show zu erstellen?

(b) Das aktuelle Kapitel trägt den Titel Geraden. Wo kommen Geraden in solchen Shows vor?

(c) 🚀 Wenn du genauer erfahren willst, wie solche Shows konzipiert werden, schau zuhause den Videobeitrag zum Altstadtfest Frankfurt.

🎯 Zielsetzung

Wir möchten im Folgenden ebenfalls Shows aus Drohnen und Laserstrahlen entwickeln – aber natürlich nicht zu kompliziert wie die Profis in den Videos. Wir konzentrieren uns daher bei den Formen der Drohnen auf gerade Linien.

Der Weg ins Unendliche

Unsere Lichtshow soll den Weg ins Unendliche mit Hilfe vieler Drohnen verdeutlichen. Die Drohnen sollen wie im Applet unter der Aufgabe hierbei eine Lichterkette bilden, wobei die einzelnen Drohnen in gleichem Abstand auf einer (gedachten) Geraden positioniert sind.

Aufgabe 2 (Erarbeitung) 👤👤👤

(a) Die Koordinaten der beiden Drohnen $D_0$ und $D_1$ sind vorgegeben, alle anderen sind unbekannt. Überlegt euch in einer Gruppe eine Strategie, um die Koordinaten der übrigen Drohnen zu bestimmen. Die bekannten Koordinaten lauten $D_0(2|-2|2)$ und $D_1(1.5|-1|2.5)$.

💡 Tipp

Berechnet zuerst den Vektor $\vec{u} = \overrightarrow{ D_0 D_1 }$ und stellt dann die Vektoren $\overrightarrow{OD_{...}}$ als Linearkombination von $\overrightarrow{OD_0}$ und $\vec{u}$ dar.

(b) Teilt euch nun die Punkte untereinander auf und bestimmt die fehlenden Koordinaten. Notiert eure Rechnung nachvollziehbar.

(c) 🚀 Eine Drohne ist zur Position $D_x(-3|8|15)$ geflogen. Hat sie sich verflogen? Begründe deine Antwort.

Zum Herunterladen: drohnen1.ggb

Aufgabe 3 (Sicherung)

(a) Vergleiche die Berechnung der einzelnen Koordinaten. Kannst du eine gemeinsame Struktur herausarbeiten?

(b) Entwickle eine Formel zur Berechnung des Vektors $\overrightarrow{ O D_n }$ für beliebige $n \in \mathbb{N}$.

💡 Tipp

Nutze in der Formel die „Bausteine“ $n$, $\overrightarrow{ O D_0 }$ und $\vec{u} =\overrightarrow{ D_0 D_1 }$.

$\overrightarrow{ O D_n } = \dots$

Vektorielle Beschreibung der Drohnengeraden

Wir betrachten jetzt die Gerade etwas genauer, auf der alle Drohnen positioniert sind.

Aufgabe 5 (Ausblick)

Mit $\vec{p} = \overrightarrow{ O D_0 }$ und $\vec{u} =\overrightarrow{ D_0 D_1 }$ sowie $\vec{x} = \overrightarrow{ O X }$ kann man folgende Vektorgleichung aufstellen:

$g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

(a) Welche Werte muss man für $t$ einsetzen, um die Drohnenpositionen zu erhalten? Erläutere kurz. Was ist ein sinnvoller Wertebereich für $t$?

(b) Im Applet under der Aufgabe kann man für $t$ mit dem Schieberegler weitere Zahlen einstellen. Erläutere, wie dann im oberen Fenster rechnerisch die Koordinaten eines Punktes bestimmt werden. Erläutere, wie man im unteren Fenster anschaulich die entsprechenden Positionen auf der Geraden erhält.

Zum Herunterladen: drohnen2.ggb