Erkundung – Drohnenshow

Eine Lichtshow mit Dohnen

Spektakuläre Lichtshows werden zunehmend mit Hilfe von Drohnen durchgeführt.

Aufgabe 1 (Einstieg)

(a) Sieh dir diesen Videobeitrag zum Tag der Deutschen Einheit 2021 an (bis Minute 13:05). Überlege: Welche Inhalte des Kapitels Vektoren werden benötigt, um so eine Show zu erstellen?

(b) Das aktuelle Kapitel trägt den Titel Geraden. Wo kommen Geraden in solchen Shows vor?

(c) 🚀 Wenn du genauer erfahren willst, wie solche Shows konzipiert werden, schau zuhause den Videobeitrag zum Altstadtfest Frankfurt.

🎯 Zielsetzung

Wir möchten im Folgenden ebenfalls Shows aus Drohnen und Laserstrahlen entwickeln – aber natürlich nicht zu kompliziert wie die Profis in den Videos. Wir konzentrieren uns daher bei den Formen der Drohnen auf gerade Linien.

Der Weg ins Unendliche

Unsere Lichtshow soll den Weg ins Unendliche mit Hilfe vieler Drohnen verdeutlichen. Die Drohnen sollen wie im Applet unter der Aufgabe hierbei eine Lichterkette bilden, wobei die einzelnen Drohnen in gleichem Abstand auf einer (gedachten) Geraden positioniert sind.

Aufgabe 2 (Erarbeitung) 👤👤👤

(a) Die Koordinaten der beiden Drohnen $D_0$ und $D_1$ sind vorgegeben, alle anderen sind unbekannt. Überlegt euch in einer Gruppe eine Strategie, um die Koordinaten der übrigen Drohnen zu bestimmen. Die bekannten Koordinaten lauten $D_0(2|-2|2)$ und $D_1(1.5|-1|2.5)$.

💡 Tipp

Berechnet zuerst den Vektor $\vec{u} = \overrightarrow{ D_0 D_1 }$ und stellt dann die Vektoren $\overrightarrow{OD_{...}}$ als Linearkombination von $\overrightarrow{OD_0}$ und $\vec{u}$ dar.

(b) Teilt euch nun die Punkte untereinander auf und bestimmt die fehlenden Koordinaten. Notiert eure Rechnung nachvollziehbar.

(c) 🚀 Eine Drohne ist zur Position $D_x(-3|8|15)$ geflogen. Hat sie sich verflogen? Begründe deine Antwort.

Zum Herunterladen: drohnen1.ggb

Aufgabe 3 (Sicherung)

(a) Vergleiche die Berechnung der einzelnen Koordinaten. Kannst du eine gemeinsame Struktur herausarbeiten?

(b) Entwickle eine Formel zur Berechnung des Vektors $\overrightarrow{ O D_n }$ für beliebige $n \in \mathbb{N}$.

💡 Tipp

Nutze in der Formel die „Bausteine“ $n$, $\overrightarrow{ O D_0 }$ und $\vec{u} =\overrightarrow{ D_0 D_1 }$.

$\overrightarrow{ O D_n } = \dots$

Aufgabe 4 (Vertiefung)

Auf der Seite beetleblocks.com findest du eine Programmierumgebung, mit der man die Bewegung eines fliegenden Käfers im 3D-Raum simulieren kann. Die Programmierumgebung stellt Programmierblöcke bereit, mit denen man auch kompliziertere Bewegungen selbst programmieren kann. Beachte, dass du mit einem Wechsel auf diese Seiten das Schulbuch verlässt.

Importiere zuerst die Datei drohnen1.xml. Mit den Blöcken [Vektor] und [Ausgangspunkt] kannst du die Bewegung einer eines Käfers festlegen. Die importierte Datei gibt ein Programm vor, mit dem der Käfer die Drohnen im 3D-Raum positionieren kann.

(a) Analysiere das Programm und erkläre, wie es funktioniert. Benutze das Programm, um die Drohnenkette zu erzeugen. Verändere hierzu wiederholt den Wert des Parameters $t$ und klicke auf die Programmblöcke, um den Käfer zu bewegen.

(b) Experimentiere mit dem Programm. Ändere hierzu die vorgegebenen Zahlenwerte im Programm ab. Beschreibe und erkläre, wie sich die Änderungen auswirken.

(c) 🚀 Unter „Control“ gibt es einen Baustein „repeat __“. Diesen kannst du nutzen, um etwas wiederholt auszuführen. Man nennt das eine Schleife. Unter „Variables“ gibt es einen Baustein „change __ by __“. Damit kannst du in jedem Durchlauf der Schleife den Wert der Variablen $t$ verändern. Probiere das aus, um mit einem Programm eine gesamte Drohnenkette zu erzeugen.

Wie importiere ich die xml-Datei?

Klicke mit der rechten Maustaste auf den Link drohnen1.xml und speichere die Datei (Ziel speichern unter...) in einem Ordner.

Öffne die Seite beetleblocks.com und klicke oben rechts auf „Run Beetle Blocks“.

Klicke in der Menu-Leiste links oben auf das Dateisymbol und wähle anschließend „Import project or blocks“ aus.

Navigiere zum Ordner, in dem du die xml-Datei gespeichert hast, wähle sie aus und klicke auf „Öffnen“.

Wie bewege ich den Käfer?

In der mittleren Spalte siehst du das importierte Programm. Du kannst mit dem obersten orangenen Block den Wert von $t$ festlegen. Mit dem Block „Vektor 2, -2, 2“ wird der Startpunkt des Käfers festgelegt. Im darauffolgenden Vektor-Block wird die Bewegungsrichtung festgelegt.

Wenn du auf ein Block-Paket klickst, erhält es kurz einen grünen Rahmen und der Käfer im rechten Fenster fliegt die angegebene Bewegung.

Vektorielle Beschreibung der Drohnengeraden

Wir betrachten jetzt die Gerade etwas genauer, auf der alle Drohnen positioniert sind.

Aufgabe 5 (Ausblick)

Mit $\vec{p} = \overrightarrow{ O D_0 }$ und $\vec{u} =\overrightarrow{ D_0 D_1 }$ sowie $\vec{x} = \overrightarrow{ O X }$ kann man folgende Vektorgleichung aufstellen:

$g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

(a) Welche Werte muss man für $t$ einsetzen, um die Drohnenpositionen zu erhalten? Erläutere kurz. Was ist ein sinnvoller Wertebereich für $t$?

(b) Im Applet under der Aufgabe kann man für $t$ mit dem Schieberegler weitere Zahlen einstellen. Erläutere, wie dann im oberen Fenster rechnerisch die Koordinaten eines Punktes bestimmt werden. Erläutere, wie man im unteren Fenster anschaulich die entsprechenden Positionen auf der Geraden erhält.

Zum Herunterladen: drohnen2.ggb