Vernetzung – Geraden in der 2D-Ebene
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Diese Seite stellt interessante Vernetzungen zum bereits bekannten Geraden-Konzept aus der Mittelstufe her. Dabei wurden Geraden in der 2D-Ebene mit linearen Funktionen beschrieben. Stattdessen könnte man jedoch auch hierfür vektorielle Gleichungen verwenden.
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Lineare Funktionen
Lineare Funktionen sind Funktionen, deren Graphen durch Geraden dargestellt werden. Zur Wiederholung hier einige wichtige Informationen über lineare Funktionen.
Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die mit einer Funktionsgleichung vom Typ $f(x) = m \cdot x + b$ dargestellt werden kann.
- Beispiel: Die Funktion $f$ mit $f(x) = 0.5 \cdot x + 1.5$ ist eine lineare Funktion.
- Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.
- $m$ beschreibt die Steigung des Funktionsgraphen.
- $b$ beschreibt den $y$-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen.
Aufgabe 1
Mache dir im folgenden Applet die Bestandteile der Funktionsgleichung einer linearen Funktion noch einmal klar. Du kannst $x$ durch Bewegung des entsprechenden Punktes variieren.
Zum Herunterladen: gerade2d1.ggb
Vektorielle Beschreibung von Geraden in der 2D-Ebene
Geraden können mithilfe von Vektoren beschrieben werden. Das funktioniert in der 2D-Ebene genauso wie im 3D-Raum.
Aufgabe 2
Bewege im Applet unter der Aufgabe $t$ durch Bewegung des entsprechenden Punktes. Erläutere anhand der Applets die Zusammenhänge und Unterschiede in der Beschreibung von 2D-Geraden mit Hilfe von linearen Funktionsgleichungen einerseits und vektoriellen Geradengleichungen andererseits.
Zum Herunterladen: gerade2d2.ggb
Aufgabe 3
(a) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = -2 x + 1$. Beschreibe den Funktionsgraphen dieser Funktion mit einer vektoriellen Geradengleichung.
(b) Gegeben ist die Geradengleichung $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$). Beschreibe den Funktionsgraphen mit einer linearen Funktionsgleichung.
(c) Wie lässt sich aus einer Funktionsgleichung der Gestalt $f(x) = m x + b$ eine Geradengleichung der Gestalt $g:\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ gewinnen? Erläutere das Verfahren an einem selbst gewählten Beispiel oder auch ganz allgemein.
Aufgabe 4
(a) Vektorielle Geradengleichungen sind ein flexibleres "mathematisches Werkzeug" zur Beschreibung von Geraden in der 2D-Ebene als lineare Funktionsgleichungen. Bei einer vektoriellen Geradengleichung kann man unterschiedliche Stütz- und Richtungsvektoren benutzen. Verdeutliche das am Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = -2 x + 1$.
(b) Kann man die Gerade $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$) mit einer linearen Funktionsgleichung beschreiben? Begründe mit diesem Beispiel, dass vektorielle Geradengleichungen ein mächtigeres "mathematisches Werkzeug" zur Beschreibung von Geraden in der 2D-Ebene sind als lineare Funktionsgleichungen.
Aufgabe 5
Die Gerade $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$) lässt sich durchaus auch als Funktion deuten. Erkläre das anhand der folgenden vektoriellen Funktionsgleichung.
$g(t) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
