Vernetzung – Geraden in der 2D-Ebene

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind Funktionen, deren Graphen durch Geraden dargestellt werden. Zur Wiederholung hier einige wichtige Informationen über lineare Funktionen.

• Beispiel: Die Funktion $f$ mit $f(x)=0.5\cdot x+1.5$ ist eine lineare Funktion.
• Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.
• $m$ beschreibt die Steigung des Funktionsgraphen.
• $b$ beschreibt den $y$-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen.

Aufgabe 1

Mache dir im folgenden Applet die Bestandteile der Funktionsgleichung einer linearen Funktion noch einmal klar. Du kannst $x$ durch Bewegung des entsprechenden Punktes variieren.

Zum Herunterladen: gerade2d1.ggb

Vektorielle Beschreibung von Geraden in der 2D-Ebene

Geraden können mithilfe von Vektoren beschrieben werden. Das funktioniert in der 2D-Ebene genauso wie im 3D-Raum.

Aufgabe 2

Bewege im Applet unter der Aufgabe $t$ durch Bewegung des entsprechenden Punktes. Erläutere anhand der Applets die Zusammenhänge und Unterschiede in der Beschreibung von 2D-Geraden mit Hilfe von linearen Funktionsgleichungen einerseits und vektoriellen Geradengleichungen andererseits.

Zum Herunterladen: gerade2d2.ggb

Aufgabe 3

(a) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=-2x+1$. Beschreibe den Funktionsgraphen dieser Funktion mit einer vektoriellen Geradengleichung.

(b) Gegeben ist die Geradengleichung $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$). Beschreibe den Funktionsgraphen mit einer linearen Funktionsgleichung.

(c) Wie lässt sich aus einer Funktionsgleichung der Gestalt $f(x)=mx+b$ eine Geradengleichung der Gestalt $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{u}$ gewinnen? Erläutere das Verfahren an einem selbst gewählten Beispiel oder auch ganz allgemein.

Aufgabe 4

(a) Vektorielle Geradengleichungen sind ein flexibleres "mathematisches Werkzeug" zur Beschreibung von Geraden in der 2D-Ebene als lineare Funktionsgleichungen. Bei einer vektoriellen Geradengleichung kann man unterschiedliche Stütz- und Richtungsvektoren benutzen. Verdeutliche das am Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=-2x+1$.

(b) Kann man die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$) mit einer linearen Funktionsgleichung beschreiben? Begründe mit diesem Beispiel, dass vektorielle Geradengleichungen ein mächtigeres "mathematisches Werkzeug" zur Beschreibung von Geraden in der 2D-Ebene sind als lineare Funktionsgleichungen.

Aufgabe 5

Die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$) lässt sich durchaus auch als Funktion deuten. Erkläre das anhand der folgenden vektoriellen Funktionsgleichung.

$g(t)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)