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Exkurs - Geraden in der 2D-Ebene

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind Funktionen, deren Graphen durch Geraden dargestellt werden. Zur Wiederholung hier einige wichtige Informationen über lineare Funktionen.

Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die mit einer Funktionsgleichung vom Typ $f(x) = m \cdot x + b$ dargestellt werden kann.

  • Beispiel: Die Funktion $f$ mit $f(x) = 0.5 \cdot x + 1.5$ ist eine lineare Funktion.
  • Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.
  • m beschreibt die Steigung des Funktionsgraphen.
  • b beschreibt den y-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen.

In der folgenden Animation werden die Bestandteile der Funktionsgleichung einer linearen Funktion verdeutlicht. Du kannst $x$ durch Bewegung des entsprechenden Punktes variieren.

Quelle: gerade2d1.ggb

Vektorielle Beschreibung von Geraden in der 2D-Ebene

Geraden können mit Hilfe von Vektoren beschrieben werden. Das funktioniert in der 2D-Ebene genauso wie im 3D-Raum. Die folgende Animation verdeutlicht die Zusammenhänge. Hier kannst du $t$ durch Bewegung des entsprechenden Punktes variieren.

Quelle: gerade2d2.ggb

Aufgabe 1

Erläutere anhand der Animationen die Zusammenhänge und Unterschiede in der Beschreibung von 2D-Geraden mit Hilfe von linearen Funktionsgleichungen einerseits und vektoriellen Geradengleichungen andererseits.

Aufgabe 2

(a) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = -2 x + 1$. Beschreibe den Funktionsgraphen dieser Funktion mit einer vektoriellen Geradengleichung.

(a) Gegeben ist die Geradengleichung g: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$). Beschreibe den Funktionsgraphen mit einer linearen Funktionsgleichung.

Aufgabe 3

(a) Vektorielle Geradengleichungen sind ein flexibleres "mathematisches Werkzeug" zur Beschreibung von Geraden in der 2D-Ebene als lineare Funktionsgleichungen. Bei einer vektoriellen Geradengleichung kann man unterschiedliche Stütz- und Richtungsvektoren benutzen. Verdeutliche das am Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = -2 x + 1$.

(b) Kann man die Gerade $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$) mit einer linearen Funktionsgleichung beschreiben? Begründe mit diesem Beispiel, dass vektorielle Geradengleichungen auch ein mächtigeres "mathematisches Werkzeug" zur Beschreibung von Geraden in der 2D-Ebene sind als lineare Funktionsgleichungen.

Aufgabe 4

Die Gerade $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$) lässt sich durchaus auch als Funktion deuten. Erkläre das anhand der folgenden vektoriellen Funktionsgleichung.

$g(t) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

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