Übungen – Geradengleichung

Geradengleichung in Parameterform

Aufgabe 1 – Punkte auf einer Geraden ★

Wir betrachten noch einmal eine Konstellation von Drohnen, bei der die Drohnen alle im gleichen Abstand auf einer Geraden liegen.

Die Koordinaten der beiden Drohnen $D_0$ und $D_1$ sind bekannt: $D_0(2|-1|5)$ und $D_1(1|0|4.5)$. Die Koordinaten der anderen Drohnen sollen bestimmt werden. Benutze die Kontrolle iim Applet unter der Aufgabe erst, nachdem du die Berechnungen selbst durchgeführt hast.

(a) Mache dir anhand des Applets folgende Vektorgleichung klar: $\overrightarrow{ O D_2 } = \overrightarrow{ O D_0 } + 2 \cdot \overrightarrow{ D_0 D_1 }$. Bestimme mit dieser Gleichung die Koordinaten von $D_2$.

(b) Gehe analog bei allen weiteren Drohnenpunkten vor. Stelle erst die passende Vektorgleichung auf und bestimme mit ihr die Koordinaten des entsprechenden Punktes.

(c) Begründe, dass man alle Drohnenpunkte $X$ (und insbesondere auch $D_0$ und $D_1$) mit der folgenden Vektorgleichung erhält:

$\overrightarrow{ O X } = \overrightarrow{ O D_0 } + t \cdot \overrightarrow{ D_0 D_1 }$, wobei $t$ hier eine beliebige ganze Zahl aus $... -2, -1, 0, 1, 2, ...$ ist.

Zum Herunterladen: drohnen3.ggb

Aufgabe 2 – Geraden mit Geradengleichungen beschreiben ★

Ziel dieser Aufgabe ist es, die Beschreibung von Geraden mit Geradengleichungen zu üben.

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 4, der wie im Applet unter der Aufgabe gezeigt im Koordinatensystem liegt. Wenn man die Seitenmitten des Würfels miteinander verbindet, erhält man einen Oktaeder. In dieser Konstellation kann man zahlreiche Geraden identifizieren, z.B. die Gerade $g_{AB}$ durch die Punkte $A$ und $B$. Benutze die Kontrolle im Applet unter der Aufgabe (wenn möglich) erst, nachdem du die Aufgaben selbst bearbeitet hast.

(a) Gegeben sind verschiedene Geradengleichungen. Beschreibe die Lage der Geraden, indem du Punkte angibst, durch die die Geraden verlaufen. Z.B.: $g_1$ verläuft durch $A$ und $B$ bzw. $g_1 = g_{AB}$.

$g_1: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$
$g_2: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)$
$g_3: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)$
$g_4: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$
$g_5: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$

(b) Beschreibe die folgenden Geraden mit Geradengleichungen:

$g_{BC}: \vec{x} = ...$
$g_{DF}: \vec{x} = ...$
$g_{CF}: \vec{x} = ...$
$g_{LJ}: \vec{x} = ...$
$g_{NM}: \vec{x} = ...$
$g_{LM}: \vec{x} = ...$
$g_{ML}: \vec{x} = ...$

Zum Herunterladen: oktaeder2.ggb

Aufgabe 3 – Variation einer Geradengleichung ★

Das Applet unter der Aufgabe zeigt dieselbe Konstellation von Punkten wie in Aufgabe 2.

(a) Gegeben ist die Gerade mit der Geradengleichung $g_{AC}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$

Gib weitere Geradengleichungen an, die dieselbe Gerade beschreiben, indem du

• den Stützvektor variierst.
• den Richtungsvektor variierst.

Benutze die Kontrolle im Applet (wenn möglich) erst, nachdem du die Aufgaben selbst bearbeitet hast.

(b) Gehe analog vor bei der Geradengleichung $g_{JF}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$

(c) Passt die folgende Gleichung zur Geraden $g_{MN}$? Begründe deine Antwort.

$g_{MN}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$

Zum Herunterladen: oktaeder2.ggb

Aufgabe 4 – Rolle des Nullvektors ★★

Ein Mitschüler hat drei Geradengleichungen aufgestellt. Ist alles in Ordnung so? Begründe kurz.

$g_1: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$g_2: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$g_3: \vec{x} = t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Aufgabe 5 – Argumentationsmuster ★★

Die folgenden Aussagen sind alle falsch. Begründe jeweils mit einem geeigneten Gegenbeispiel.

(a) Wenn in zwei Geradengleichungen die Stützvektoren gleich sind und die Richtungsvektoren sich unterscheiden, dann werden mit den Geradengleichungen zwei verschiedene Geraden beschrieben.

(b) Wenn in zwei Geradengleichungen die Richtungsvektoren gleich sind und die Stützvektoren sich unterscheiden, dann werden mit den Geradengleichungen zwei verschiedene Geraden beschrieben.

(c) Wenn in zwei Geradengleichungen die Richtungsvektoren und die Stützvektoren sich unterscheiden, dann werden mit den Geradengleichungen zwei verschiedene Geraden beschrieben.

Aufgabe 6 – Eine Lasershow modellieren ★★★

In dieser Aufgabe geht es um die mathematische Beschreibung von Lasershows.

(a) Hier ist eine Lasershow bereits vorgegeben. Beschreibe die jeweiligen Laserbahnen mithilfe von Geradengleichungen. Drehe hierzu das Koordinatensystem so, dass du erkennen kannst, wie die Laserbahnen im Koordinatensystem verlaufen.

Zum Herunterladen: lasershow1.ggb

(b) Hier ist eine weitere Lasershow vorgegeben. Beschreibe die jeweiligen Laserbahnen mithilfe von Geradengleichungen. Drehe hierzu das Koordinatensystem so, dass du erkennen kannst, wie die Laserbahnen im Koordinatensystem verlaufen.

Zum Herunterladen: lasershow2.ggb

(c) Hier sollst du selbst eine Lasershow zu konzipieren.

Beschreibe hierzu die Laserbahnen mithilfe von Geradengleichungen. Teste deine Lasershow, indem du die Geradengleichungen im Applet eingibst. Die vorgegebene Geradengleichung kannst du löschen. Beachte, dass GeoGebra den gewählten Parameter automatisch durch $λ$ ersetzt. Du kannst also den Parameternamen $t$ benutzen. Achte aber darauf, zwischen das $t$ und die darauffolgende Klammer ein Malzeichen (also *) einzugeben, sonst erkennt GeoGebra ggf. nicht, dass es eine Gerade sein soll.

Zum Herunterladen: lasershow3.ggb

Punktproben

Aufgabe 7 – Punkte auf einer Geraden bestimmen / Punktprobe durchführen ★

Die Flugbahn einer Drohne wird durch folgende Gerade beschrieben: $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

(a) Bestimme 5 Punkte, die auf der Geraden $g$ liegen, indem du für $t$ konkrete Zahlen einsetzt.

(b) Welche der folgenden Punkte liegen auf $g$: $A(5|6|-1)$, $B(6|12|-1)$, $C(8|18|-4)$, $D(2|-6|-1)$? Überprüfe jeweils, ob der Punkt mit einem geeigneten Parameterwert $t$ erzeugt werden kann. Die Rechnungen kann man hier im Kopf durchführen.

Aufgabe 8 – Drohnenshow ★★

Bei einer Drohnenshow sollen alle Drohnen eine Gerade wie im Applet unter der Aufgabe bilden.

Die Gerade ist mit folgender Geradengleichung festgelegt worden.

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Bei der Programmierung der Drohnen haben sich einige Fehler eingeschlichen. Kontrolliere mithilfe von Punktproben, ob alle folgenden Drohnenpunkte tatsächlich auf der Geraden $g$ liegen.

• $D(-3|8|7)$
• $D(8|-10|-4)$
• $D(-2|6|6)$
• $D(4|-4|0)$

Zum Herunterladen: drohnen1.ggb