Geg.:

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Ges.: Schnittpunkte von $g$ und $h$

Schritt 1: eine Bedingung aufstellen

$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Schritt 2: die Bedingung in ein Gleichungssystem umwandeln

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& 1& +& t& =& 2& & \\ [2]& 4& & & =& 6& +& t\\ [3]& 2& +& t& =& 3& & \end{array}$

Schritt 3: das Gleichungssystem lösen

Aus [1] folgt: $t=1$.

Aus [2] folgt: $t=-2$.

Aus [3] folgt: $t=1$.

Das LGS hat also keine Lösung.

Ergebnis: Es gibt keinen Schnittpunkt.

Geg.:

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ (mit $r\in \mathbb{R}$)

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ (mit $s\in \mathbb{R}$)

Ges.: Schnittpunkte von $g$ und $h$

Schritt 1: eine Bedingung aufstellen

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Schritt 2: die Bedingung in ein Gleichungssystem umwandeln

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& 2& +& r& =& -1& & \\ [2]& 1& +& r& =& 0& +& s\\ [3]& 3& +& r& =& -3& +& s\end{array}$

Schritt 3: das Gleichungssystem lösen

Aus [1] folgt: $r=-3$.

Einsetzen von $r=-3$ in [2] ergibt direkt: $s=-2$.

Das LGS hat also die Lösung $r=-3$ und $s=-2$.

Schritt 4: den Schnittpunkt ggf. berechnen

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)+(-3)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$

Ergebnis: Der Schnittpunkt $S$ hat die Koordinaten $S(-1|2|0)$.