Beispiel: Bestimmung von $S_{12}$

Der Punkt $S_{12}$ liegt in der $x_1$-$x_2$-Ebene. Die $x_3$-Koordinate dieses Punktes muss also $0$ sein. $S_{12}$ hat also die Koordinaten $S_{12}(x, y, 0)$ mit noch zu bestimmenden Koordinaten $x$ und $y$.

Da der Punkt $S_{12}$ auf der Geraden $g$ liegt, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1.5 \\ 1.5 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1.5 \\ 0.5 \end{array}\right)$

Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

$ [1] \; x = 1 - t \\ [2] \; y = 1.5 + 1.5t \\ [3] \; 0 = 1.5 + 0.5t $

Auflösen von [3] ergibt: $t = -3$

Einsetzen von $t = -3$ in [1] und Auflösen von [1] ergibt: $x = 4$

Einsetzen von $t = -3$ in [2] und Auflösen von [2] ergibt: $y = -3$

Ergebnis: $S_{12}$ hat also die Koordinaten $S_{12}(4, -3, 0)$.

Beispiel: Bestimmung von $S_{13}$

Bei der Bestimmung von $S_{13}$ geht man analog vor. $S_{13}$ liegt in der $x_1$-$x_3$-Ebene. Die $x_2$-Koordinate dieses Punktes muss also $0$ sein. $S_{13}$ hat also die Koordinaten $S_{13}(x, 0, z)$ mit noch zu bestimmenden Koordinaten $x$ und $z$.

Da der Punkt $S_{13}$ auf der Geraden $g$ liegt, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$\left(\begin{array}{c} x \\ 0 \\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1.5 \\ 1.5 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -1.5 \\ 0.5 \end{array}\right)$

Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

$ [1] \; x = 1 - t \\ [2] \; 0 = 1.5 + 1.5t \\ [3] \; z = 1.5 + 0.5t $

Auflösen von [2] ergibt: $t = -1$

Einsetzen von $t = -1$ in [1] und Auflösen von [1] ergibt: $x = 2$

Einsetzen von $t = -1$ in [3] und Auflösen von [3] ergibt: $z = 1$

Ergebnis: $S_{13}$ hat also die Koordinaten $S_{13}(2, 0, 1)$.

Beispiel: Bestimmung von $S_{23}$

$S_{23}$ liegt in der $x_2$-$x_3$-Ebene. Die $x_1$-Koordinate dieses Punktes muss also $0$ sein. $S_{23}$ hat also die Koordinaten $S_{23}(0, y, z)$. mit noch zu bestimmenden Koordinaten $x$ und $z$.

Da der Punkt $S_{23}$ auf der Geraden $g$ liegt, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$\left(\begin{array}{c} 0 \\ y \\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1.5 \\ 1.5 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -1.5 \\ 0.5 \end{array}\right)$

Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

$ [1] \; 0 = 1 - t \\ [2] \; y = 1.5 + 1.5t \\ [3] \; z = 1.5 + 0.5t $

Auflösen von [1] ergibt: $t = 1$

Einsetzen von $t = 1$ in [2] und Auflösen von [2] ergibt: $y = 3$

Einsetzen von $t = 1$ in [3] und Auflösen von [3] ergibt: $z = 2$

Ergebnis: $S_{23}$ hat also die Koordinaten $S_{13}(0, 3, 2)$.