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Zusammenfassung – Spurpunkte von Geraden

Visualisierung von Geraden im 3D-Raum

Bei der Verdeutlichung der Lage von Geraden im 3D-Raum helfen die sogenannten Spurpunkte.

Zusammenfassung – Spurpunkte von Geraden: spurpunkte3.ggb

Die Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen.

  • Der Spurpunkt S12 ist der Schnittpunkt der Geraden mit der x1-x2-Ebene (die durch die x1-Achse und die x2-Achse festgelegt ist).
  • Der Spurpunkt S13 ist der Schnittpunkt der Geraden mit der x1-x3-Ebene (die durch die x1-Achse und die x3-Achse festgelegt ist).
  • Der Spurpunkt S23 ist der Schnittpunkt der Geraden mit der x2-x3-Ebene (die durch die x2-Achse und die x3-Achse festgelegt ist).

Berechnung der Spurpunkte

Wir betrachten die folgende Gerade.

g:x=(11.51.5)+t(11.50.5) (mit tR)

Beispiel: Bestimmung von S12

Der Punkt S12 liegt in der x1-x2-Ebene. Die x3-Koordinate dieses Punktes muss also 0 sein. S12 hat also die Koordinaten S12(x|y|0) mit noch zu bestimmenden Koordinaten x und y.

Da der Punkt S12 auf der Geraden g liegt, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

(xy0)=(11.51.5)+t(11.50.5)

Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

[1]x=1t[2]y=1.5+1.5t[3]0=1.5+0.5t

Auflösen von [3] ergibt: t=3

Einsetzen von t=3 in [1] und Auflösen von [1] ergibt: x=4

Einsetzen von t=3 in [2] und Auflösen von [2] ergibt: y=3

Ergebnis: S12 hat also die Koordinaten S12(4|3|0).


Beispiel: Bestimmung von S13

Bei der Bestimmung von S13 geht man analog vor. S13 liegt in der x1-x3-Ebene. Die x2-Koordinate dieses Punktes muss also 0 sein. S13 hat also die Koordinaten S13(x|0|z) mit noch zu bestimmenden Koordinaten x und z.

Da der Punkt S13 auf der Geraden g liegt, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

(x0z)=(11.51.5)+t(11.50.5)

Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

[1]x=1t[2]0=1.5+1.5t[3]z=1.5+0.5t

Auflösen von [2] ergibt: t=1

Einsetzen von t=1 in [1] und Auflösen von [1] ergibt: x=2

Einsetzen von t=1 in [3] und Auflösen von [3] ergibt: z=1

Ergebnis: S13 hat also die Koordinaten S13(2,0,1).


Beispiel: Bestimmung von S23

S23 liegt in der x2-x3-Ebene. Die x1-Koordinate dieses Punktes muss also 0 sein. S23 hat also die Koordinaten S23(0|y|z). mit noch zu bestimmenden Koordinaten x und z.

Da der Punkt S23 auf der Geraden g liegt, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

(0yz)=(11.51.5)+t(11.50.5)

Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

[1]0=1t[2]y=1.5+1.5t[3]z=1.5+0.5t

Auflösen von [1] ergibt: t=1

Einsetzen von t=1 in [2] und Auflösen von [2] ergibt: y=3

Einsetzen von t=1 in [3] und Auflösen von [3] ergibt: z=2

Ergebnis: S23 hat also die Koordinaten S13(0,3,2).

Sonderfälle – Anzahl der Spurpunkte

Die Anzahl der Spurpunkte hängt von der Lage der Geraden ab.

Lage der GeradeSpurpunkte
S12S13S23S12, S13, S23
S12S13S12, S13
S12S23S12, S23
SS13S23S13, S23
S12S12
S13S13
S23S23

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