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Zusammenfassung – Spurpunkte von Geraden

Visualisierung von Geraden im 3D-Raum

Bei der Verdeutlichung der Lage von Geraden im 3D-Raum helfen die sogenannten Spurpunkte.

Zusammenfassung – Spurpunkte von Geraden: spurpunkte3.ggb

Die Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen.

Der Spurpunkt $S_{12}$ ist der Schnittpunkt der Geraden mit der $x_{1}$ - $x_{2}$ -Ebene (die durch die $x_{1}$ -Achse und die $x_{2}$ -Achse festgelegt ist).
Der Spurpunkt $S_{13}$ ist der Schnittpunkt der Geraden mit der $x_{1}$ - $x_{3}$ -Ebene (die durch die $x_{1}$ -Achse und die $x_{3}$ -Achse festgelegt ist).
Der Spurpunkt $S_{23}$ ist der Schnittpunkt der Geraden mit der $x_{2}$ - $x_{3}$ -Ebene (die durch die $x_{2}$ -Achse und die $x_{3}$ -Achse festgelegt ist).

Berechnung der Spurpunkte

Wir betrachten die folgende Gerade.

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1.5 \\ 1.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1.5 \\ 0.5 \end{matrix})$ (mit $t \in R$ )

Beispiel: Bestimmung von

S_{12}

Der Punkt $S_{12}$ liegt in der $x_{1}$ - $x_{2}$ -Ebene. Die $x_{3}$ -Koordinate dieses Punktes muss also $0$ sein. $S_{12}$ hat also die Koordinaten $S_{12} (x | y | 0)$ mit noch zu bestimmenden Koordinaten $x$ und $y$ .

Da der Punkt $S_{12}$ auf der Geraden $g$ liegt, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$(\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1.5 \\ 1.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1.5 \\ 0.5 \end{matrix})$

Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

$\begin{array}{ccccc} [1] & x & = & 1 & - & t \\ [2] & y & = & 1.5 & + & 1.5 t \\ [3] & 0 & = & 1.5 & + & 0.5 t \end{array}$

Auflösen von [3] ergibt: $t = - 3$

Einsetzen von $t = - 3$ in [1] und Auflösen von [1] ergibt: $x = 4$

Einsetzen von $t = - 3$ in [2] und Auflösen von [2] ergibt: $y = - 3$

Ergebnis: $S_{12}$ hat also die Koordinaten $S_{12} (4 | - 3 | 0)$ .

Beispiel: Bestimmung von

S_{13}

Bei der Bestimmung von $S_{13}$ geht man analog vor. $S_{13}$ liegt in der $x_{1}$ - $x_{3}$ -Ebene. Die $x_{2}$ -Koordinate dieses Punktes muss also $0$ sein. $S_{13}$ hat also die Koordinaten $S_{13} (x | 0 | z)$ mit noch zu bestimmenden Koordinaten $x$ und $z$ .

Da der Punkt $S_{13}$ auf der Geraden $g$ liegt, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$(\begin{matrix} x \\ 0 \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1.5 \\ 1.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1.5 \\ 0.5 \end{matrix})$

Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

$\begin{array}{ccccc} [1] & x & = & 1 & - & t \\ [2] & 0 & = & 1.5 & + & 1.5 t \\ [3] & z & = & 1.5 & + & 0.5 t \end{array}$

Auflösen von [2] ergibt: $t = - 1$

Einsetzen von $t = - 1$ in [1] und Auflösen von [1] ergibt: $x = 2$

Einsetzen von $t = - 1$ in [3] und Auflösen von [3] ergibt: $z = 1$

Ergebnis: $S_{13}$ hat also die Koordinaten $S_{13} (2, 0, 1)$ .

Beispiel: Bestimmung von

S_{23}

$S_{23}$ liegt in der $x_{2}$ - $x_{3}$ -Ebene. Die $x_{1}$ -Koordinate dieses Punktes muss also $0$ sein. $S_{23}$ hat also die Koordinaten $S_{23} (0 | y | z)$ . mit noch zu bestimmenden Koordinaten $x$ und $z$ .

Da der Punkt $S_{23}$ auf der Geraden $g$ liegt, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$(\begin{matrix} 0 \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1.5 \\ 1.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1.5 \\ 0.5 \end{matrix})$