Zusammenfassung – Schnittpunktbestimmung
Bestimmung gemeinsamer Punkte
Zwei Geraden können sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden. Im folgenden Applet erkennt man, dass $g$ und $h$ einen gemeinsamen Punkt haben, wenn man für $g$ den Parameterwert $t = 4$ und für $h$ den Parameterwert $s = 2$ einstellt. Bei den Geraden $g$ und $i$ bzw. $h$ und $i$ gelingt es nicht, einen gemeinsamen Punkt zu finden – zumindest nicht in dem Ausschnitt, den das Applet zeigt.
Zum Herunterladen: flugbahnen4.ggb
Im Applet wird ein Probier-Verfahren zur Ermittlung von Schnittpunkten benutzt. Dieses Verfahren führt in einfachen Fällen zum Ziel. In schwierigeren Fällen gelingt das in der Regel nicht. Man benötigt dann ein rechnerisches Verfahren, das immer zu einem Ergebnis führt.
Bei einer Schnittpunktbestimmung geht es darum, rechnerisch zu überprüfen, ob zwei Geraden mit vorgegebenen Geradengleichungen einen gemeinsamen Punkt – einen Schnittpunkt – haben, und diesen Punkt gegebenenfalls zu berechnen.
Achtung – unterschiedliche Parameter
Vorweg ein wichtiger Hinweis. Manchmal sind – wie im folgenden Fall – zwei Geradengleichungen mit gleichem Parameter gegeben:
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -0.25 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
Da der gesuchte Schnittpunkt in der Regel mit zwei unterschiedlichen Parameterwerten erreicht wird, muss man für eine rechnerische Schnittpunktbestimmung erst einmal für unterschiedliche Parameternamen sorgen. Ansonsten könnten sich die beiden Vektorpfeile aus dem Applet oben „verpassen“. Hier reicht es, wenn man einen Parameter umbenennt, z.B. so:
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -0.25 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)
Ein Algorithmus zur Schnittpunktbestimmung
Rechnerische Schnittpunktbestimmung – Fall 1: Es gibt genau einen Schnittpunkt
Beispiel:
Gegeben sind die beiden Geraden $g$ und $h$ mit den folgenden Geradengleichungen:
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -0.25 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -0.5 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)
Gesucht sind gemeinsame Punkte der beiden Geraden $g$ und $h$.
Lösung ein-/ausblenden
Damit $g$ und $h$ gemeinsame Punkte haben, muss folgende Bedingung für passende Parameterwerte $t$ und $s$ erfüllt sein:
Bedingung:
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -0.25 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -0.5 \end{array}\right)$
Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem:
LGS:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2 & - & t & = & 0 & - & s \\ [2] &\quad -3 & + & t & = & -3 & + & 2s \\ [3] &\quad 2 & - & 0.25t & = & 2 & - & 0.5s \end{array}$
Auflösen von [1] nach $s$ ergibt $t = s + 2$:
$\begin{array}{rcll} 2 - t &= &0 - s &\quad | + t\\ 2 &= &t - s &\quad | + s \\ s + 2 &= &t \end{array}$
Einsetzen von $t = s + 2$ in [2] ergibt $s = 2$:
$\begin{array}{rcll} -3 + s + 2 &= &-3 + 2s \\ -1 + s &= &-3 + 2s &\quad | - s \\ -1 &= &-3 + s &\quad | + 3 \\ 2 &= &s \end{array}$
Einsetzen von $s = 2$ in $t = s + 2$ ergibt $t = 4$.
Einsetzen von $s = 2$ und $t = 4$ in [3] ergibt:
$\begin{array}{rcl} 2 - 0.25 \cdot 4 &= &2 - 0.5 \cdot 2 \\ 2 - 1 &= &2 - 1 \\ 1 &= &1 \end{array}$
Das LGS hat also die Lösung $s = 2$ und $t = 4$.
Berechnung des Schnittpunkts: Mit dieser Lösung kann man jetzt die Koordinaten des Schnittpunkts bestimmen. Zur Kontrolle benutzen wir beide Geradengleichungen.
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + 4 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -0.25 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + 2 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -0.5 \end{array}\right) = \vec{x} = = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$
Ergebnis: Es gibt also einen gemeinsamen Schnittpunkt $S$ mit den Koordinaten $S(-2|1|1)$.
Rechnerische Schnittpunktbestimmung – Fall 2: Es gibt keinen Schnittpunkt
Beispiel:
Gegeben sind die beiden Geraden $g$ und $i$ mit den folgenden Geradengleichungen:
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -0.25 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$i: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -0.25 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)
Gesucht sind gemeinsame Punkte der beiden Geraden $g$ und $i$.
Lösung ein-/ausblenden
Damit $g$ und $i$ gemeinsame Punkte haben, muss folgende Bedingung für passende Parameterwerte $t$ und $r$ erfüllt sein:
Bedingung:
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -0.25 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -0.25 \end{array}\right)$
Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem:
LGS:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2 & - & t & = & 0 & - & 2r \\ [2] &\quad -3 & + & t & = & 0 & - & 2r \\ [3] &\quad 2 & - & 0.25t & = & 6 & - & 0.5r \end{array}$
Auflösen von [2] nach $s$ ergibt $t = 3 - 2r$:
$\begin{array}{rcll} -3 + t &= &0 - 2r &\quad | + 3 \\ t &= &3 - 2r \end{array}$
Einsetzen von $t = 3 - 2r$ in [1] ergibt $r = 3/4$:
$\begin{array}{rcll} 2 - (3 - 2r) &= &2 - 2r \\ 2 - 3 + 2r &= &2 - 2r \\ -1 + 2r &= &2 - 2r &\quad | + 1 \\ 2r &= &3 - 2r &\quad | + 2r \\ 4r &= &3 &\quad | : 4 \\ r &= &3/4 = 0.75 \end{array}$
Einsetzen von $r = 0.75$ in $t = 3 - 2r$ ergibt $t = 3 - 2 \cdot 0.75 = 1.5$.
Einsetzen von $r = 0.75$ und $t = 1.5$ in [3] ergibt:
$\begin{array}{rcl} 2 - 0.25 \cdot 1.5 &= &6 - 0.5 \cdot 0.75 \\ 1.625 &= &5.625 \end{array}$
Das LGS hat also keine Lösung.
Ergebnis: Es gibt keinen gemeinsamen Schnittpunkt von $g$ und $i$.
Rechnerische Schnittpunktbestimmung – Fall 3: Es gibt unendlich viele Schnittpunkte
Beispiel:
Gegeben sind die beiden Geraden $i$ und $j$ mit den folgenden Geradengleichungen:
$i: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -0.25 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)
$j: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 8 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)
Gesucht sind gemeinsame Punkte der beiden Geraden $i$ und $j$.
Lösung ein-/ausblenden
Damit $i$ und $j$ gemeinsame Punkte haben, muss folgende Bedingung für passende Parameterwerte $r$ und $s$ erfüllt sein:
Bedingung:
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -0.25 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 8 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right)$
Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem:
LGS:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2 & - & 2r & = & 2 & + & 8s \\ [2] &\quad 0 & - & 2r & = & 0 & + & 8s \\ [3] &\quad 6 & - & 0.25r & = & 6 & + & s \end{array}$
Auflösen von [2] nach $r$ ergibt $r = -4s$:
$\begin{array}{rcll} 0 - 2r &= &0 + 8s &\quad | : (-2) \\ r &= &-4s \end{array}$
Einsetzen von $r = -4s$ in [1] ergibt keinen Wert für $s$:
$\begin{array}{rcll} 2 - 2\cdot (-4s) &= &2 + 8s \\ 2 + 8s &= &2 + 8s &\quad | - 8s \\ 2 &= &2 \end{array}$
Einsetzen von $r = -4s$ in [3] ergibt keinen Wert für $s$:
$\begin{array}{rcll} 6 - 0.25\cdot (-4s) &= &6 + s \\ 6 + s &= &6 + s &\quad | - s \\ 6 &= &6 \end{array}$
Das LGS hat unendlich viele Lösungen. Immer wenn $r = -4s$ gilt, erhält man einen gemeinsamen Punkt der beiden Geraden.
Im vorliegenden Beispiel ist das nicht erstaunlich. Die Richtungsvektoren der beiden Geraden $i$ und $j$ sind linear abhängig. Zusätzlich sind die Stützvektoren von $i$ und $j$ gleich. Hieraus folgt, dass beide Geradengleichungen dieselbe Gerade beschreiben.
Ergebnis: Die Geraden $i$ und $j$ sind identisch, haben also unendlich viele gemeinsame Punkte. Anders ausgedrückt: Beide Geradengleichungen beschreiben dieselbe Gerade.
Quellen
- [1]: Flussdiagramm zur Schnittpunktbestimmung - Urheber: FR - Lizenz: inf-schule.de
