Paintball

In Deckung!

In einem Computerspiel muss Nathalie einem Schützen ausweichen, der Paintball-Kugeln auf ihren Spielcharakter schießt. Sie versteckt sich geduckt hinter einer kleinen Mauer.

Aufgabe 1 (Einstieg)

(a) Teste das Applet unter der Aufgabe aus und beantworte folgende Fragen: Wo befinden sich der Schütze und Nathalie? Wie hoch ist die Mauer? Ist Nathalie an ihrer aktuellen Position sicher?

(b) Entwickle eine Strategie: Wie kann man durch Rechnungen überprüfen, ob Nathalie sich an einer sicheren Position befindet?

Zum Herunterladen: paintball.ggb

Aufgabe 2 (Erarbeitung)

(a) Zeige mit eine Rechnung, dass Nathalie sicher ist. Berechne dafür, wo die Paintball-Kugel auf die Mauer trifft.

💡 Tipp

Stelle zuerst eine Gleichung auf, die die Flugbahn von Schütze zu Nathalie beschreibt. Gesucht ist der Punkt $T$, an dem der Paintball gegen die Mauer stößt.

💡 Noch ein Tipp

$T$ hat die Koordinaten $T(x|0|z)$. Mache dir klar, warum die $x_2$-Koordinate hier null sein muss. Setze dann $T$ und die Geradengleichung gleich. Du erhältst ein LGS, mit dem du erst den Parameter der Geradengleichung und dann auch $x$ und $z$ bestimmen kannst.

(b) Aktuell ist Nathalie geduckt. Ist sie auch noch sicher, wenn sie aufsteht und dabei ihre $x_3$-Koordinate um $0.5$ größer wird? Berechne und überprüfe danach mit dem Applet.

(c) Nathalie schleicht geduckt von der Mauer weg. Ihre $x_3$-Koordinate bleibt dabei unverändert. Probiere im Applet aus, ob sie dabei getroffen werden kann. Falls ja, dann zeige das rechnerisch.

Aufgabe 3 (Sicherung)

Du hast in Aufgabe 2 berechnet, an welchen Stellen ein Paintball-Schuss seine Spur auf der Mauer hinterlässt. Entsprechend nennt man diese Punkte Spurpunkte einer Gerade. Genauer gesagt, hast du mehrfach den Spurpunkt $S_{13}$ bestimmt, das ist der Schnittpunkt der Geraden mit der $x_1x_3$-Ebene. (Die $x_1x_3$-Ebene ist die Ebene, die durch die $x_1$- und $x_3$-Achse festgelegt wird.)

(a) In der Aufgabe zur Schattenkonstruktion hast du ebenfalls einen Spurpunkt bestimmt. Wie muss dieser heißen?

(b) Es gibt noch einen dritten Spurpunkt. Wie müsste man die Paintball-Aufgabe verändern, um diesen zu erhalten?

(c) Im Applet unter der Aufgabe siehst du eine Gerade und die drei Ebenen. Das „Durchstoßen“ einer Ebene erkennst du an der gestrichelten Linie der Geraden. Überlege dir, wo die drei Spurpunkte liegen, und lies ihre Koordinaten ungefähr ab. Überprüfe danach mit den Kontrollkästchen im Applet.

Zum Herunterladen: spurpunkte3b.ggb

(d) Fülle den folgenden Wissensspeicher aus.