Übungen – Schnittpunkte von Geraden
Aufgabe 1 – Geraden am Würfel ★
In dieser Aufgabe wird das Aufstellen von Geradengleichungen und die anschließende Schnittpunktberechnung geübt.
Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge $4$. Die Punkte $K$, $L$ und $N$ sind Kantenmitten, der Punkt $M$ eine Seitenmitte.
Zum Herunterladen: wuerfel_mit_geraden.ggb
Es sieht so aus, als würden sich die Geraden $g_{FK}$, $h_{GL}$ und $i_{MN}$ alle in einem Punkt schneiden. Aber, stimmt das auch? Überprüfe, indem du alle Geradengleichungen aufstellt und die jeweiligen Schnittpunkte berechnest.
Aufgabe 2 – Sich kreuzende Flugbahnen ★★★
In dieser Aufgabe werden das Aufstellen von Geradengleichungen sowie Schnittpunktberechnungen in einem Sachkontext geübt.
Folgende Flugdaten (Zeiten und Positionen) von zwei Flugzeugen sind gegeben:
| Flugzeug / Zeit | 11:10:10 | 11:10:15 | 11:10:20 |
|---|---|---|---|
| Airbus | (80|120|10380) | (1200|980|10300) | (2320|1840|10220) |
| Boing | (4178|4470|10044) | (5188|3240|10044) | (6198|2010|10044) |
(a) Überprüfe zunächst, ob die Flugzeuge sich auf Geraden bewegen.
(b) Überprüfe anschließend, ob die Flugbahnen sich kreuzen.
(c) Überprüfe abschließend, ob eine Kollision zu erwarten ist und Alarm gegeben werden muss.
Sonderfälle bei der Schnittpunktberechnung
In den folgenden drei Aufgaben werden Sonderfälle bei der Schnittpunktberechnung betrachtet. Sie eigenen sich außerdem als Überleitung zum nächsten Thema (Lagebeziehungen).
Aufgabe 3 ★★
(a) Führe das Verfahren zur Schnittpunktberechnung für die folgenden beiden Geraden aus und Interpretiere das Ergebnis.
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)
🔑 Lösung
Beim Lösen des Gleichungssystems erhält man für die Parameter Werte, mit denen jedoch nicht alle drei Gleichungen erfüllt werden. Die Bedingung ist also für keine Parameter erfüllt. Also schneiden sich die beiden Geraden nicht.
(b) Das, was du in Teil (a) beim Lösen des Gleichungssystems herausgefunden hast, kannst du bei diesen sehr einfachen Geradengleichungen auch schneller feststellen. Argumentiere mit Stütz- und Richtungsvektoren, dass man dies direkt an den Geradengleichungen ablesen kann. Wie verlaufen die Geraden?
Aufgabe 4 ★★
(a) Führe das Verfahren zur Schnittpunktberechnung für die folgenden beiden Geraden aus und Interpretiere das Ergebnis.
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)
🔑 Lösung
Beim Lösen des Gleichungssystems erhält man für die Parameter Werte, mit denen jedoch nicht alle drei Gleichungen erfüllt werden. Die Bedingung ist also für keine Parameter erfüllt. Also schneiden sich die beiden Geraden nicht.
(b) Das, was du in Teil (a) beim Lösen des Gleichungssystems herausgefunden hast, kannst du bei diesen sehr einfachen Geradengleichungen auch schneller feststellen. Argumentiere mit Stütz- und Richtungsvektoren, dass man dies direkt an den Geradengleichungen ablesen kann. Wie verlaufen die Geraden?
Aufgabe 5 ★★
(a) Führe das Verfahren zur Schnittpunktberechnung für die folgenden beiden Geraden aus und Interpretiere das Ergebnis.
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -0.25 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 8 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)
🔑 Lösung
Beim Lösen des Gleichungssystems erhält man mit einer Gleichung einen Zusammenhang zwischen den Parametern $t$ und $s$. Normalerweise würde man dann mit den anderen Gleichungen für einen Parameter einen genauen Wert erhalten. Das gelingt hier jedoch nicht; das Lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Das bedeutet, dass die beiden Geraden gleich sind, so haben sie unendlich viele Schnittpunkte.
(b) Das, was du in Teil (a) beim Lösen des Gleichungssystems herausgefunden hast, kannst du bei diesen sehr einfachen Geradengleichungen auch schneller feststellen. Argumentiere mit Stütz- und Richtungsvektoren, dass man dies direkt an den Geradengleichungen ablesen kann. Wie verlaufen die Geraden?
