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Strukturierung – Laserstrahlen (mit Wissensspeicher)

Ein riesiger Laserpointer

In der Erkundung hast du Drohnen-Shows betrachtet. Oft werden diese durch Laserstrahlen über dem Nachthimmel ergänzt. In mehreren Städten werden solche Laser-Installationen auch außerhalb von Shows genutzt, um den Nachthimmel zu erleuchten. Recht bekannt ist das Laserscape Kassel.

Zielsetzung

Wir wollen einen solchen Laser – und damit auch allgemein Geraden im 3D-Raum – mit Vektoren beschreiben.

Eine mathematische Beschreibung des Lasers

Wir betten die Situation in ein 3D-Koordinatensystem ein: Dazu gehen wir davon aus, dass der Laserpointer auf einem Stativ steht. Dieses befindet sich an Position $P (3 | - 1 | 2)$ . Der Laserpointer ist dabei so ausgerichtet, dass der Laserstrahl auch durch den Punkt $Q (2 | - 0.5 | 2.5)$ verläuft.

Aufgabe 1

(a) Der Laserstrahl erreicht unendlich viele Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem. Bestimme drei davon.

(b) Beschreibe alle Punkte des Laserstrahls durch eine Gleichung der Form $g : \vec{x} = \dots$

💡 Tipp

Bei den Drohnen wurde eine „Startdrohne“ auf der Gerade ausgewählt, deren Koordinaten bekannt waren, ihren Ortsvektor nannten wir

\vec{p}

. Außerdem wurde ein Vektor

\vec{u}

genutzt, der die Richtung der Gerade beschreibt. Dieser Richtungsvektor wurde mit einem Parameter

t

multipliziert. Die Gleichung lautete dann

g : \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}

(c) In der Geradengleichung kommt ein Parameter $t$ vor. Bei den Drohnen ergaben nur ganzzahlige Werte von $t$ Sinn. Welche Werte von $t$ sind in der aktuellen Situation sinnvoll? Beschreibe mit Fachbegriffen. Das folgende Applet kann dir dabei helfen.

Zum Herunterladen: gerade2.ggb

Bemerkung zur Vorgehensweise

Um ein reales Problem mathematisch zu lösen, muss man es erst in der „Sprache der Mathematik“ beschreiben. Das nennt man Modellierung. In der Modellierung muss man sich immer wieder fragen: Passt mein Modell zum gegebenen Problem? Hier bedeutet das, dass man wie in Teil (c) darüber nachdenkt, ob die Modellierung als Gerade ggf. nicht ganz richtig ist. Wir stellen fest, dass eigentlich eine Halbgerade das passendere Modell wäre. Tatsächlich ist „Strahl“ in der Mathematik auch einfach ein anderen Name für Halbgerade.

Fachbegriffe

In der Geradengleichung kommen die Vektoren $\vec{x}$ , $\vec{p}$ und $\vec{u}$ sowie der Parameter $t$ vor. Man nennt dabei den Vektor $\vec{p}$ den Stützvektor der Geraden und $\vec{u}$ den Richtungsvektor der Geraden. Man berechnet verschiedene Punkte $X$ der Geraden, indem man den Parameter $t$ verändert. Deshalb nennt man die Gleichung auch Geradengleichung in Parameterform.

Aufgabe 2

(a) Bei einem Laserstrahl gibt es eine Strahlungsrichtung und ein Stativ für den Laserpointer. Ordne diesen beiden „Objekten“ ide Fachbegriffe aus der Geradengleichung zu.

(b) Erläutere die Bestandteile der folgenden Geradengleichung: Welches ist der Stützvektor, welches der Richtungsvektor? $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{matrix})$ (mit $t \in R$ )

Variationen der Geradengleichung

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass unser Laserstrahl vom Stativ aus in beide Richtungen verläuft. Es ist nun also nicht mehr eine Halbgerade, sondern wirklich eine Gerade, die durch die von oben bekannte Gleichung beschrieben wird: $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{matrix}) mit t \in R .$

Aufgabe 3 (Erarbeitung)

(a) Der aktuelle Ort für das Stativ mit dem Laserpointer ist nicht gut geeignet, weil es dort sehr windig ist. Es wird ein neuer Platz gesucht, sodass aber die Lasergerade gleich bleibt. Gib einen weiteren Ort an, wo wir das Stativ aufstellen könnten und notiere die Gleichung:

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} . . . \\ . . . \\ . . . \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{matrix}) mit t \in R .$

(b) Man kann auch den Richtungsvektor der Lasergeraden verändern, sodass dennoch dieselbe Gerade beschrieben wird. Notiere dieselbe Gerade, nur mit einem anderen Richungsvektor:

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} . . . \\ . . . \\ . . . \end{matrix}) mit t \in R .$

(c) Beschreibe möglichst präzise: Welche Eigenschaften müssen andere Stativpunkte $P$ und Richtungsvektoren $\vec{u}$ erfüllen, damit sie dieselbe Gerade beschreiben?

Aufgabe 4 (Sicherung und Vertiefung)

Wir verallgemeinern die Überlegungen aus Aufgabe 3 auf alle Geradengleichungen.

Du kannst im Applet unter der Aufgabe den Stützpunkt $P$ verschieben. Außerdem kannst du $Q$ verschieben, um den Richtungsvektor $\vec{u}$ anzupassen.

Achtung: Das Applet zeigt gerundete Werte an, sodass die berechneten Ergebnisse mit dem angezeigten Ergebnis nicht immer genau übereinstimmen.

(a) Variiere $P$ und $Q$ und betrachte die Auswirkungen auf die Gerade.

Zum Herunterladen: gerade3b.ggb

(b) Formuliere präzise: Welche Punkte $P$ (und damit auch welche Vektoren $\vec{p}$ ) kommen als Stützpunkt infrage, wenn dieselbe Gerade beschrieben soll?

(c) Formuliere präzise: Welche Vektoren kommen als Richtungsvektor $\vec{u}$ infrage, wenn dieselbe Gerade beschrieben soll?

(d) Es gibt einen Vektor, der nie als Richtungsvektor genutzt werden darf, weil sonst keine Gerade herauskommt. Welcher ist das? Erkläre anschaulich und rechnerisch.

(e) Notiere deine gesammelten Erkenntnisse zur Geradengleichung im folgenden Wissensspeicher.

Quellen

[1]: Laserscape Kassel - Urheber: Jens Haines - Lizenz: Creative Commons BY-SA 3.0