o-mathe | Mathematik in Computerspielen

Schattenkonstruktionen

Vereinfachtes Raytracing

🎯 Zielsetzung: Da sich Licht als Gerade im Raum fortbewegt, sind Berechnungen mit Geraden essentiell, um realistische Bilder am Computer zu erzeugen – zum Beispiel für Computerspiele.

Das Video im Einstieg erklärt, dass man in der Praxis, um Rechenleistung zu sparen, die Berechnungen dabei umdreht: Man untersucht nicht, wie das Licht von der Lichtquelle zum Betrachter gelangt, sondern startet beim Betrachter und sucht den Weg zur Lichtquelle.

„Instead of a light-centric approach we have a camera-centric approach.“

Im Folgenden starten wir dennoch bei der Lichtquelle selbst, weil das für den Anfang leichter vorstellbar ist.

Parallelprojektion

Wenn Sonnenlicht die Erde erreicht, dann sind die (dabei gedachten einzelnen) Lichtstrahlen nahezu parallel. Diese parallelen Lichtstrahlen nutzen wir, um den Schatten eines Gegenstands zu konstruieren.

Aufgabe 1 (Erarbeitung)

Betrachte einen Würfel mit der Kantenlänge $2$ , der wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt. Die Sonneneinstrahlung wird mit dem Vektor $\vec{u} = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix})$ beschrieben.

(a) Überprüfe anschaulich, dass die Sonnenstrahlen im Applet wirklich in die genannte Richtung verlaufen.

(b) Bestimme die Koordinaten der Schattenpunkte $E^{'}$ , $F^{'}$ und $G^{'}$ , die man zur Konstruktion des Schattenbildes benötigt. In einer Gruppe könnt ihr euch die drei Punkte aufteilen.

💡 Tipp zum Vorgehen

Stelle erst die Geradengleichung einer Gerade $g$ auf, die durch den Punkt $G$ und in Richtung der Sonnenstrahlen verläuft.

Diese Gerade soll den Boden am Punkt $G^{'}$ treffen. Die ersten beiden Koordinaten von $G^{'}$ sind unbekannt (nenne sie $x$ und $y$ ), die dritte kennst du jedoch. Damit kannst du ein LGS aufstellen und lösen.

💡 Tipp für die dritte Koordinate

Der Boden befindet sich bei $x_{3} = 0$ . Du erhältst also die Koordinaten $G^{'} (x | y | 0)$ . Setze deine Geradengleichung und den Vektor $(\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix})$ gleich (wie bei einer Punktprobe) und löse das entstehende LGS auf. Mit der dritten Gleichung erhältst du den Parameter $t$ . Setze ihn dann in die anderen beiden Gleichungen ein, um $x$ und $y$ zu berechnen.

Zum Herunterladen: schatten1.ggb

Aufgabe 2 (Sicherung)

(a) Beschreibe Schritt für Schritt, wie man aus der Richtung des Lichts und den Koordinaten eines Punktes einen solchen Schattenpunkt berechnet.

Gegeben: Vektor $\vec{u}$ als Richtung des Lichts, Koordinaten von Punkt $G$

Gesucht: Koordinaten von Schattenpunkt $G^{'}$

Vorgehen:

(b) Wie muss die Licht-Gerade verlaufen, dass es keinen solchen Schattenpunkt gibt? Kannst du ein Beispiel angeben?

Zentralprojektion

Wir gehen nicht mehr von der Sonne als Lichtquelle aus, sondern von einer Lampe, die wir uns als einen Punkt vorstellen.

Aufgabe 3 (Vertiefung)

Betrachte erneut einen Würfel mit der Kantenlänge $2$ , der wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt. Die Lichtquelle befindet sich im Punkt $L (- 2 | 8 | 6)$ .

(a) Erkläre, warum wir bei der Sonne von parallelen Lichtstrahlen ausgehen konnten und hier nicht mehr.

(b) Bestimme auch hier die Koordinaten der Schattenpunkte $E^{'}$ , $F^{'}$ und $G^{'}$ , die man zur Konstruktion des Schattenbildes benötigt. In einer Gruppe könnt ihr euch die drei Punkte aufteilen.

(c) Die Position der Lichtquelle kann man im Applet variieren. In welchem Bereich ist die gezeigte Schattenkonstruktion korrekt - in welchem Bereich müsste sie abgeändert werden? Begründe kurz.

(d) Kannst du die Position der passenden Schattenpunkte direkt (d.h. ohne aufwendige Rechnungen) angeben, wenn die Lichtquelle sich im Punkt $L (- 2 | - 6 | 6)$ befindet? Erläutere, wie du dabei vorgehst.

💡 Tipp

Argumentiere mithilfe von Symmetrie.

Zum Herunterladen: schatten2.ggb

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