Erkundung – Ein Geradenrätsel
Ein Zuordnungsproblem
Dir wird das folgende Rätsel gestellt: Du erhältst vier Geradengleichungen und ein Applet mit mehreren Geraden.
Welche Gleichung gehört zu welcher Gerade?
Aufgabe 1 (Einstieg)
Betrachte das Applet unterhalb der Aufgabe sowie die vier Geradengleichungen. Welches Problem kann man direkt feststellen? Wie kann das sein?
Zum Herunterladen: geraden.ggb
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)
$i: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)
$j: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) + k \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $k \in \mathbb{R}$)
Aufgabe 2 (Erarbeitung)
Ordne jede Geradengleichung einer der Geraden zu. Schaue dir dafür die Stütz- und Richtungsvektoren der Geradengleichungen genau an und ziehe hieraus Schlüsse. Die folgenden Tipps können dir helfen, wenn du nicht mehr weiterkommst.
💡 Tipp 1
Im Applet sind nur 3 Geraden zu sehen. Zwei Geradengleichungen müssen also dieselbe Gerade beschreiben. Finde mit den Stütz- und Richtungsvektoren heraus, welche beiden Geraden das sind.
💡 Tipp 2
Im Applet schneiden sich zwei Geraden in genau einem Punkt. Welche Geradengleichungen passen dazu? Auch das kann man aus den Stütz- und Richtungsvektoren erschließen.
💡 Tipp 3
Etwas schwieriger: Welche Geraden verlaufen parallel, sind aber nicht identisch? Wie kann man das begründen?
Aufgabe 3 (Sicherung)
(a) Amir behauptet: „In diesem Fall war es besonders einfach, anhand der Gleichungen zu erkennen, dass sich zwei Geraden schneiden oder gar identisch sind.“ Erkläre, was er damit meint.
(b) Kannst du eine der Gleichungen verändern, sodass noch dieselbe Gerade beschrieben wird, man aber nicht mehr so einfach erkennen kann, dass sie eine der anderen Geraden schneidet?
🎯 Ausblick: Wir brauchen ein Verfahren, um Geraden und ihre Lagebeziehung, also ob sie sich schneiden etc., auch dann zu untersuchen, wenn die Stütz- und Richtungsvektoren nicht so ausgewählt wurden, dass es besonders einfach ist.
