o-mathe | Schnittpunkt zweier Geraden » Strukturierung

Strukturierung – Bohrleitungen

Kritische Bohrungen

Um Glasfaserkabel zu verlegen, müssen zuerst Leerrohre im Boden platziert werden. Gut funktioniert das, wenn man dafür einfach Gräben ausheben kann.

Doch in bebauten Gebieten ist das oft nicht möglich. Dann müssen Tunnel für die Leerrohre gebohrt werden. Eine solche Tunnelbohrung ist nicht unproblematisch, weil unterhalb der Erde meist schon andere Leitungen (z.B. für Wasser oder Strom) verlaufen. Damit man nicht bereits bestehende Rohre beschädigt, müssen die Bohrungen genau geplant werden. Wichtig ist, dass sich die Bohrleitungen nicht treffen.

Wir betrachten hier die Situation, dass bereits zwei Leitungen $g$ und $h$ in der Erde verlaufen und dass jetzt eine zusätzliche Leitung $i$ gebohrt werden soll. Alle Leitungen sollen in dem betrachten Ausschnitt geradlinig verlaufen.

Aufgabe 1 (Einstieg)

(a) Teste, ob sich die Bohrleitungen im Applet unter der Aufgabe kreuzen. Beschreibe, welche Schwierigkeit hier auftritt.

(b) Beschreibe möglichst genau, wie man rechnerisch vorgehen muss, um zu überprüfen, ob sich die Bohrleitungen kreuzen.

Zum Herunterladen: bohrungen1.ggb

Rechnerisch auf Schnittpunkte untersuchen – $g$ und $i$

Gegeben sind Geradengleichungen zu den Bohrleitungen $g$ und $i$.

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)

$i: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -0.5 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Aufgabe 2 (Erarbeitung, schwer)

Untersuche selbstständig rechnerisch, ob sich die beiden Bohrleitungen kreuzen. Springe danach zu Aufgabe 4. Wenn du mehr Hilfestellung benötigst, dann bearbeite stattdessen Aufgabe 3.

Aufgabe 3 (Erarbeitung, leicht)

(a) Erkläre, warum es wichtig ist, dass in den beiden Geradengleichungen unterschiedliche Parameternamen genutzt werden.

🔑 Lösung

Die beiden Parameter haben unterschiedliche Rollen: $r$ beschreibt, wie oft der Richtungsvektor von Gerade $g$ verwendet wird; $t$ beschreibt, wie oft der Richtungsvektor von Gerade $i$ verwendet wird. Verwendet man bei beiden denselben Parameternamen, dann müssten auch beide Richtungsvektoren genau gleich oft genutzt werden. Dadurch kann man einen gemeinsamen Punkt der beiden Geraden „verpassen“, wie bei Lisas Untersuchung von Flugbahnen.

(b) Formuliere eine passende Bedingung (als Vektorgleichung), die erfüllt sein muss, wenn sich die beiden Bohrleitungen kreuzen.

🔑 Lösung

Es gibt passende Werte $r$ und $t$, sodass folgende Bedingung erfüllt ist:

$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -0.5 \end{array}\right)$

(c) Eine Vektorgleichung mit Parametern lösen wir, indem wir sie in ein Lineares Gleichungssystem (LGS) umwandeln. Wandle die Vektorgleichung aus (b) in ein LGS um. Falls das zu schwer ist, blende dir das LGS ein und erkläre, wie man von der Vektorgleichung zum LGS kommt.

🔑 LGS

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2 & - & 2r & = & 2 & - & 2t \\ [2] &\quad -2 & + & 4r & = & & - & 2t \\ [3] &\quad -3 & - & r & = & -3 & - & 0.5t \end{array}$

(d) Löse anschließend das Gleichungssystem. Kläre so die Frage, ob es passende Werte für $r$ und $t$ gibt. Formuliere eine Schlussfolgerung: Kreuzen sich die beiden Leitungen?

💡 Tipp

Betrachte erst Gleichung [3]. Folgere aus dieser Gleichung, dass für eine Lösung $r = 0.5t$ gelten muss. Wie kann man mit diesem Zwischenergebnis weiterarbeiten?

💡 Weiterer Tipp

Setze in [1] und [2] jeweils $0.5t$ für $r$ ein. Löse beide Gleichungen dann nach $t$ auf.

💡 Weiterer Tipp

In [1] erhält man $t = 0$ und in [2] erhält man $t = 1/2$. Was kannst du daraus folgern?

Ein Schema zur Berechnung von Schnittpunkten

Aufgabe 4 (Sicherung)

(a) Fasse noch einmal selbst die Vorgehensweise zur Schnittpunktberechnung zusammen.

(b) Ordne die Schritte in diesem Applet passend an.

Über die Darstellung

Bei dieser Darstellung handelt es sich um ein Flussdiagramm. Man nutzt solche Diagramme oft in der Informatik, um den Ablauf von Computerprogrammen darzustellen. Man kann damit aber auch ganz allgemein Algorithmen, also Handlungsvorschriften, darstellen.

In der Mathematik nutzt man an verschiedenen Stellen Algorithmen: Ein typisches Beispiel sind Konstruktionen in der Geometrie, zum Beispiel eine Achsenspiegelung. Aus anderen Themenfeldern lassen sich zum Beispiel Kurvendiskussionen (Analysis) und Signifikanztests (Stochastik) nennen.

(c) Trage das, was du hier gelernt hast, im folgenden Wissensspeicher ein. Die letzte Zeile in der letzten Box hast du hier noch nicht gesehen. Dieser Fall wird in den Übungen untersucht.

Rechnerisch auf Schnittpunkte untersuchen – $h$ und $i$

Gegeben sind jetzt Geradengleichungen zu den Bohrleitungen $h$ und $i$.

$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -8 \\ -3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)