Übungen – Spurpunkte

Fachbegriffe

Aufgabe 1: Begriffe für die Ebenen und Punkte ★

Visualisierung von Geraden

Man kann Spurpunkte nutzen, um sich die Lage einer Geraden im Koordinatensystem besser vorzustellen und sie besser einzeichnen zu können.

Aufgabe 2 – Visualisierung mit Spurpunkten kennenlernen ★★

(a) Betrachte das Applet unter der Aufgabe. Aktiviere noch keines der Kontrollkästchen. Welcher der folgenden Punkte liegt wohl am nächsten an der Geraden: $A(-4|-3|-1)$, $B(2|2|2)$ oder $C(-2|1|1)$? Warum ist das so schwer zu entscheiden? Begründe kurz.

(b) Blende dir nun die Koordinatenebenen und die Spurpunkte ein. Erkläre, warum das hilft, die Frage zu beantworten.

Zum Herunterladen: spurpunkte2.ggb

(c) Versuche, die Koordinaten der Spurpunkte abzulesen.

Aufgabe 3 – Spurpunkte berechnen und Geraden visualisieren ★★

Bestimme die Spurpunkte der beiden folgenden Geraden und veranschauliche ihre Lage in einem 3D-Koordinatensystem.

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Die Anzahl von Spurpunkten

Eine Gerade hat maximal drei Spurpunkte – schließlich gibt es nur drei Koordinatenebenen, die wir betrachten. Doch kann eine Gerade auch weniger Spurpunkte haben?

Aufgabe 4 – Erste Entdeckungen zur Anzahl von Spurpunkten ★★

(a) Die Gerade $g$ mit der unten angegebenen Geradengleichung hat nur $2$ Spurpunkte. Begründe, warum das so ist. Erläutere auch, wie man das an der entsprechenden Rechnung feststellt.

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

(b) Gib eine Geradengleichung an, die nur die Spurpunkte $S_{12}$ und $S_{13}$ hat. Erläutere die Wahl der Geradengleichung.

(c) Wie viele Spurpunkte hat die folgende Gerade? Erläutere, wie man das sofort sieht und wie man dann direkt den / die Spurpunkt(e) bestimmt.

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

(d) Warum helfen Spurpunkte bei der folgenden Geraden nicht bei der Veranschaulichung der Lage? Begründe kurz.

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Aufgabe 5 – Strukturierte Untersuchung der Anzahl von Spurpunkten ★★

Wir wollen nun noch etwas strukturierter die Anzahl der Spurpunkte betrachten. Dafür betrachten wir eine Gerade $g$ durch den Punkt $P(1|1.5|1.5)$. Sie hat also die Gleichung:

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1.5\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Mit dem folgenden Applet kannst du den Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ der Geraden $g$ verändern. Nutze hierzu die Schieberegler.

Zum Herunterladen: spurpunkte5.ggb

Je nach Einstellung ergeben sich unterschiedlich viele Spurpunkte. Bestimme passende Einstellungen für alle Situationen, die in der Tabelle dargestellt sind. Dokumentiere die Ergebnisse.

Lage der Gerade	Spurpunkte
	$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1.5\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1.5\\ 0.5\end{array}\right)$ $S_{12}(4|-3|0)$, $S_{13}(0|3|2)$, $S_{23}(2|0|1)$
	$S_{12}$, $S_{13}$ $g$ verläuft parallel zur $x_1$-$x_3$-Ebene
	$S_{12}$, $S_{23}$
	$S_{13}$, $S_{23}$
	$S_{12}$
	$S_{13}$
	$S_{23}$