Übungen – Lagebeziehungen bei Geraden

Aufgabe 1 – Geraden am Würfel ★

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge $4$. Anhand dieses Würfels können die verschiedensten Geraden gebildet werden.

Betrachte die Gerade $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

(a) Beschreibe zunächst die Lage von $g$ mit Hilfe der Würfelpunkte.

(b) Gib jeweils ein passendes Beispiel für eine Gerade $h$ an (Beschreibung mit einer Geradengleichung), sodass $g$ und $h$ folgende Lagebeziehung haben. Begründe jeweils anschaulich (z.B. durch eine Beschreibung mit Punkten des Würfels) und mithilfe der Vektoren in den Geradengleichungen.

• $g$ und $h$ sind identisch.
• $g$ und $h$ sind echt parallel.
• $g$ und $h$ schneiden sich in einem Punkt.
• $g$ und $h$ sind windschief.

Zum Herunterladen: wuerfel1.ggb

Aufgabe 2 – Argumentieren ★★

Betrachte zwei Geraden $g$ und $h$ mit den folgenden (allgemein gehaltenen) Geradengleichungen:.

$g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$h: \vec{x} = \vec{q} + s \cdot \vec{v}$ (mit $s \in \mathbb{R}$)

Welche der folgende Aussagen sind wahr bzw. falsch? Argumentiere mit den aufgestellten Sätzen bzw. mit geeigneten Gegenbeispielen.

• A: Wenn $\vec{p} = \vec{q}$ und $\vec{v} = 2 \cdot \vec{u}$, dann sind $g$ und $h$ identisch.
• B: Wenn $g$ und $h$ identisch sind, dann muss $\vec{p} = \vec{q}$ gelten.
• C: Wenn $g$ und $h$ sich in einem Punkt schneiden, dann muss $\vec{p} = \vec{q}$ gelten.
• D: Wenn $\vec{p} = \vec{q} + \vec{v}$ und $\vec{u}$ und $\vec{v}$ linear unabhängig sind, dann schneiden sich $g$ und $h$ in genau einem Punkt.
• E: Wenn $g$ und $h$ windschief sind, dann müssen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ linear unabhängig sein.
• F: Wenn $g$ und $h$ echt parallel sind, dann müssen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ linear abhängig und $\vec{p}$ und $\vec{q}$ linear unabhängig sein.

Aufgabe 3 – Ein alternatives Verfahren ★★

Wenn man die Lagebeziehung von zwei Geraden untersuchen will, kann man auch damit beginnen, Schnittpunkte zu bestimmen. Das führt zu einem alternativen Flussdiagramm.

(a) Ordne die Schritte im folgenden Applet richtig an.

(b) Vergleiche das Verfahren mit dem aus der Strukturierung. Wäge ab, welcher der beiden Algorithmen aufwändiger ist.