Vernetzung – Lineare Unabhängigkeit

Das kommt mir doch bekannt vor ...

Wenn dir das Verfahren bekannt vorkommt, ist das keine Überraschung: Es funktioniert fast genauso wie die Überprüfung, ob zwei Vektoren linear abhängig bzw. parallel sind.

Aufgabe 1

Wiederhole noch einmal, wie man zwei Vektoren rechnerisch auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit untersucht. Stelle Gemeinsamkeiten zum Verfahren der Punktprobe heraus.

Aufgabe 2

Die Gemeinsamkeiten sind kein Zufall. Dem gehen wir hier auf den Grund.

Wir beginnen mit einer Punktprobe: Liegt $A(12|-13|-4)$ auf der Geraden $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$?

Dafür musses eine reelle Zahl $t$ geben, sodass folgende Bedingung erfüllt ist: $\left(\begin{array}{c} 12 \\ -13 \\ -4 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right) $

(a) Forme die Vektorgleichung so um:

$\left(\begin{array}{c} ... \\ ... \\ ... \end{array}\right) = t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right) $

(b) Erkläre, inwieweit das der Frage nach der linearen (Un-)Abhängigkeit zweier Vektoren entspricht.

(c) Wir verallgemeinern die Überlegungen: Die Ausgangsfrage ist, ob $A$ auf einer Geraden $g$ mit $g: \vec{p} + t\cdot \vec{u}$ liegt. Setze den Vektor $\overrightarrow{OA}$ entsprechend ein und forme um, damit man erkennt, dass das der Frage nach linearer (Un-)Abhängigkeit entspricht.

(d) Erkläre den Zusammenhang zwischen linearer Abhängigkeit und einer Punktprobe an einer geeigneten Skizze.