Zusammenfassung – Punktprobe
Erzeugung von Punkten
Wenn eine Geradengleichung in Parameterform gegeben ist, dann ist die Erzeugung von Punkten einfach: Man muss nur Werte für den Parameter einsetzen und den Vektorausdruck ausrechnen.
Im folgenden Applet wird genau das gemacht.
Zum Herunterladen: gerade5.ggb
Beispiel:
Für $t = 2$ erhält man den Ortsvektor $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + 2 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)$ und damit den Punkt $X(-1|0|3).$
Überprüfung von Punkten
Schwieriger ist es zu überprüfen, ob ein vorgegebener Punkt auf einer Geraden mit gegebener Geradengleichung ist.
Beispiel:
Liegt der Punkt $A(-5|4|5)$ bzw. der Punkt $B(12|-13|-4)$ auf der Geraden $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ ?
Mit dem Applet kann man versuchen, einen passenden Parameter $t$ zu finden.
Zum Herunterladen: gerade5.ggb
Für Punkt $A(-5|4|5)$ klappt das auch. Probiere es selbst aus. Schwieriger ist es bei Punkt $B(12|-13|-4)$. Probiere auch hier einen passenden Parameter $t$ zu finden.
Punktprobe
Das Probier-Verfahren führt bei der Überprüfung von Punkten manchmal zum Ziel. Oft gelingt es aber auch nicht. Man benötigt dann ein besseres Verfahren, das immer zu einem Ergebnis führt.
Bei einer Punktprobe geht es darum, rechnerisch zu überprüfen, ob ein vorgegebener Punkt auf einer Geraden mit vorgegebener Geradengleichung liegt oder nicht.
Punktprobe 1:
Problem: Liegt der Punkt $A(-5|4|5)$ auf der Geraden $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$?
Lösung
Bei der Punktprobe geht man so vor:
Damit $A$ auf $g$ liegt, muss folgende Bedingung für eine passende reelle Zahl $t$ erfüllt sein:
$\left(\begin{array}{c} -5 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right) $
Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):
$\begin{array}{lrcrcr} [1] &\quad -5 &=& 1 &-& t \\ [2] &\quad 4 &=& -2 &+& t \\ [3] &\quad 5 &=& 2 &+& 0.5t \end{array}$
Auflösen von [1] ergibt: $t = 6$
Auflösen von [2] ergibt: $t = 6$
Auflösen von [3] ergibt: $t = 6$
Alle Gleichungen werden mit demselben $t = 6$ erfüllt. Der Punkt $A$ liegt folglich auf der Geraden $g$.
Punktprobe 2:
Problem: Liegt der Punkt $B(12|-13|-4)$ auf der Geraden $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$?
Lösung
Bei der Punktprobe geht man so vor:
Damit $B$ auf $g$ liegt, muss folgende Bedingung für eine passende reelle Zahl $t$ erfüllt sein:
$\left(\begin{array}{c} 12 \\ -13 \\ -4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right) $
Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):
$\begin{array}{lrcrcr} [1] &\quad 12 &=& 1 &-& t \\ [2] &\quad -13 &=& -2 &+& t \\ [3] &\quad -4 &=& 2 &+& 0.5t \end{array}$
Auflösen von [1] ergibt: $t = -11$
Auflösen von [2] ergibt: $t = -11$
Auflösen von [3] ergibt: $t = -12$
Da nicht alle Gleichungen mit demselben $t$ erfüllt werden, ergibt sich hieraus, dass das LGS keine Lösung hat.
Die oben formulierte Bedingung ist daher nicht erfüllbar. Der Punkt $B$ liegt folglich nicht auf der Geraden $g$.
Zusammenhang zur linearen Abhängigkeit
Wenn dir das Verfahren bekannt vorkommt, ist das keine Überraschung: Es funktioniert fast genauso wie die Überprüfung, ob zwei Vektoren linear abhängig bzw. parallel sind. Dabei haben wir auch aus der linearen Abhängigkeit eine Vektorgleichung ($\vec{u}=t\cdot \vec{v}$ für eine geeignete reelle Zahl $t$) aufgestellt. Ob eine solche Zahl $t$ existiert, konnten wir dann genau wie hier lösen, indem aus der Vektorgleichung ein lineares Gleichungssystem erzeugt wird. Ist dieses lösbar, dann existiert eine solche Zahl $t$, die Vektoren waren linear abhängig. Ist es nicht lösbar, gibt es kein solches $t$ und die Vektoren sind nicht linear abhängig.
Zusammenhang – anschaulich
Die Ähnlichkeit der beiden Verfahren ist kein Zufall: Die Frage „Liegt Punkt $A$ auf der Geraden $g$?“ können wir nämlich umformulieren: „Erreichen wir vom Stützpunkt $P$ ausgehend den Punkt $A$ mithilfe eines skalaren Vielfaches des Richtungsvektors $\vec{u}$?“ Und das wiederum ist dieselbe Frage wie: Ist der Vektor $\overrightarrow{PA}$ ein skalares Vielfaches von $\vec{u}$?“
Zusammenhang – formal
Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ mit $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$.
$\Leftrightarrow$
Es gibt eine reelle Zahl $t$, so dass die folgende Bedingung erfüllt ist: $ \vec{a} = \vec{p} + t \cdot \vec{u} $ (wobei $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$).
$\Leftrightarrow$
Es gibt eine reelle Zahl $t$, so dass gilt: $\vec{a} - \vec{p} = t \cdot \vec{u}$ bzw. $\overrightarrow{PA} = t \cdot \vec{u}$.
$\Leftrightarrow$
Der Vektor $\vec{a} - \vec{p}$ (bzw. $\overrightarrow{PA}$) ist ein Vielfaches vom Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden.
$\Leftrightarrow$
Die Vektoren $\vec{a} - \vec{p}$ (bzw. $\overrightarrow{PA}$) und $\vec{u}$ sind linear abhängig.
