Bei der Punktprobe geht man so vor:

Damit $A$ auf $g$ liegt, muss folgende Bedingung für eine passende reelle Zahl $t$ erfüllt sein:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0.5\end{array}\right)$

Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

$\begin{array}{lrcrcr}[1]& -5& =& 1& -& t\\ [2]& 4& =& -2& +& t\\ [3]& 5& =& 2& +& 0.5t\end{array}$

Auflösen von [1] ergibt: $t=6$

Auflösen von [2] ergibt: $t=6$

Auflösen von [3] ergibt: $t=6$

Alle Gleichungen werden mit demselben $t=6$ erfüllt. Der Punkt $A$ liegt folglich auf der Geraden $g$.

Bei der Punktprobe geht man so vor:

Damit $B$ auf $g$ liegt, muss folgende Bedingung für eine passende reelle Zahl $t$ erfüllt sein:

$\left(\begin{array}{c}12\\ -13\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0.5\end{array}\right)$

Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

$\begin{array}{lrcrcr}[1]& 12& =& 1& -& t\\ [2]& -13& =& -2& +& t\\ [3]& -4& =& 2& +& 0.5t\end{array}$

Auflösen von [1] ergibt: $t=-11$

Auflösen von [2] ergibt: $t=-11$

Auflösen von [3] ergibt: $t=-12$

Da nicht alle Gleichungen mit demselben $t$ erfüllt werden, ergibt sich hieraus, dass das LGS keine Lösung hat.

Die oben formulierte Bedingung ist daher nicht erfüllbar. Der Punkt $B$ liegt folglich nicht auf der Geraden $g$.

Die Ähnlichkeit der beiden Verfahren ist kein Zufall: Die Frage „Liegt Punkt $A$ auf der Geraden $g$?“ können wir nämlich umformulieren: „Erreichen wir vom Stützpunkt $P$ ausgehend den Punkt $A$ mithilfe eines skalaren Vielfaches des Richtungsvektors $\overrightarrow{u}$?“ Und das wiederum ist dieselbe Frage wie: Ist der Vektor $\overrightarrow{PA}$ ein skalares Vielfaches von $\overrightarrow{u}$?“

Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ mit $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{u}$.

$\iff$

Es gibt eine reelle Zahl $t$, so dass die folgende Bedingung erfüllt ist: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{u}$ (wobei $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$).

$\iff$

Es gibt eine reelle Zahl $t$, so dass gilt: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p}=t\cdot \overrightarrow{u}$ bzw. $\overrightarrow{PA}=t\cdot \overrightarrow{u}$.

$\iff$

Der Vektor $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p}$ (bzw. $\overrightarrow{PA}$) ist ein Vielfaches vom Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ der Geraden.

$\iff$

Die Vektoren $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p}$ (bzw. $\overrightarrow{PA}$) und $\overrightarrow{u}$ sind linear abhängig.