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Zusammenfassung – Lagebeziehungen bei Geraden

Gegenseitige Lage von Geraden im 3D-Raum

Die folgende Animation zeigt 4 Geraden, die unterschiedlich zueinander liegen.

Quelle: geraden.ggb

In der Animation sind verschiedene Lagebeziehungen zu sehen. Um leichter über sie zu sprechen, werden passende Begriffe eingeführt. Mithilfe der Begriffe können dann mathematische Zusammenhänge als Sätze formuliert werden.

Zur Beschreibung von Lagebeziehungen nutzen wir die folgenden Fachbegriffe:

  • Zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt - das versteht sich von selbst. Im Beispiel $g$ und $h$.
  • Zwei Geraden sind identisch genau dann, wenn sie in allen Punkten übereinstimmen. Im Beispiel $h$ und $j$.
  • Zwei Geraden sind echt parallel genau dann, wenn sie parallel, aber nicht identisch sind. Im Beispiel $g$ und $i$.
  • Zwei Geraden sind windschief genau dann, wenn sie nicht parallel zueinander sind, sich aber auch nicht schneiden. Im Beispiel $h$ und $i$.

In der Mathematik ist es üblich, Fachbegriffe mit Hilfe von Definitionen präzise festzulegen. Da wir hier ein intuitives Verständnis zu den Fachbegriffen voraussetzen können, verzichten wir auf formale Definitionen.

Zwei Geraden im 3D-Raum können in folgenden Lagebeziehungen stehen:

  • Die beiden Geraden sind identisch.
  • Die beiden Geraden sind echt parallel.
  • Die beiden Geraden schneiden sich (in genau einem Punkt).
  • Die beiden Geraden sind windschief.

Diese Lagebeziehungen sollen jetzt über die Bestandteile der Geradengleichungen genauer charakterisiert werden.

Identische Geraden

Quelle: geraden_h_j.ggb

Satz:

Wenn die Richtungsvektoren der beiden Geraden linear abhängig sind und zusätzlich der Punkt zum Stützvektor einer Geraden auch auf der anderen Geraden liegt, dann sind die beiden Geraden identisch.

Beispiel:

$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)

$j: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + k \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $k \in \mathbb{R}$)

Hier gilt

  • $(-1) \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$. Die Richtungsvektoren von $h$ und $j$ sind also linear abhängig.
  • $\left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + 4 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$. Der Stützpunkt $(4|1|2)$ von $h$ liegt also auch auf $j$.

Echt parallele Geraden

Quelle: geraden_g_i.ggb

Satz:

Wenn die Richtungsvektoren der beiden Geraden linear abhängig sind und zusätzlich der Punkt zum Stützvektor einer Geraden nicht auf der anderen Geraden liegt, dann sind die beiden Geraden echt parallel.

Beispiel:

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$i: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)

Hier gilt

  • $(-1) \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$. Die Richtungsvektoren von $g$ und $i$ sind also linear abhängig.
  • Der Stützpunkt $(2|-5|2)$ von $g$ liegt nicht auf $i$, da alle Punkte auf $i$ die $x_3$-Koordinate $4$ haben.

Sich schneidende Geraden

Quelle: geraden_g_h.ggb

Satz:

Wenn die Richtungsvektoren der beiden Geraden nicht linear abhängig sind und die Geraden zusätzlich einen gemeinsamen Punkt haben, dann schneiden sich die beiden Geraden in einem Punkt.

Beispiel:

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)

Hier gilt

  • Die Richtungsvektoren $\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ sind nicht linear abhängig.
  • Der Punkt $(0|-1|2)$ liegt auf $g$ (mit $t = 2$) und auf $h$ (mit $s = 2$). Es gibt also einen gemeinsamen Punkt.

Windschiefe Geraden

Quelle: geraden_h_i.ggb

Satz:

Wenn die Richtungsvektoren der beiden Geraden nicht linear abhängig sind und die Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben, dann sich die beiden Geraden windschief.

Beispiel:

$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)

$i: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)

Hier gilt

  • Die Richtungsvektoren $\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$ sind nicht linear abhängig.
  • Der Stützpunkt $(4|1|2)$ von $h$ liegt nicht auf $i$, da alle Punkte auf $i$ die $x_3$-Koordinate $4$ haben.

Ein Algorithmus zur Untersuchung der Lagebeziehungen

Man kann Lagebeziehungen mit diesem Algorithmus untersuchen:

Flussdiagramm zur Untersuchung der Lagebeziehungen[1]

Quellen

  • [1]: Flussdiagramm zur Untersuchung der Lagebeziehungen - Urheber: FS - Lizenz: Inf-Schule.de

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