Strukturierung – Lagebeziehungen bei Geraden

Schwierigere Argumentationen

Aufgabe 1 (Einstieg)

(a) Betrachte das Applet unterhalb der Aufgabe. Es sind dieselben Geraden wie in der Erkundung und doch gibt es Unterschiede. Was hat sich geändert? Welche Bedeutung haben die acht eingezeichneten Vektoren?

(b) Betrachte auch die vier Geradengleichungen unter der Aufgabe. Was hat sich im Vergleich zur Erkundung geändert? Erkläre, inwiefern dadurch die Zuordnung schwieriger ist.

Zum Herunterladen: geraden_mit_vektoren.ggb

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)

$i: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)

$j: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + k \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $k \in \mathbb{R}$)

Aufgabe 2 (Erarbeitung)

Für welche Geraden passen die folgenden Argumentationen?

(A) Die beiden Geraden sind identisch, da die Richtungsvektoren der beiden Geraden linear abhängig sind und zusätzlich der Punkt zum Stützvektor einer Geraden auch auf der anderen Geraden liegt.

(B) Die beiden Geraden sind (echt) parallel, da die Richtungsvektoren der beiden Geraden linear abhängig sind und zusätzlich der Punkt zum Stützvektor einer Geraden nicht auf der anderen Geraden liegt.

(C) Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt, da die Richtungsvektoren der beiden Geraden nicht linear abhängig sind und die Geraden zusätzlich einen gemeinsamen Punkt haben.

(D) Die beiden Geraden sind windschief, da die Richtungsvektoren der beiden Geraden nicht linear abhängig sind und die Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben.

Aufgabe 3 (Sicherung)

Wir betrachten die neue Gerade $g : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$.

(a) Mache dir klar, wie $g$ in einem Koordinatensystem verläuft.

(b) Gib je eine Geradengleichung an für eine Gerade, die zu $g$ identisch bzw. echt parallel bzw. schneidend bzw. windschief verläuft.

(c) In Aufgabe 2 kommen verschiedene Überlegungen vor, um die Lagebeziehung zu untersuchen: Sind die Richtungsvektoren linear abhängig? Haben die Geraden mindestens einen gemeinsamen Punkt? Es gibt entsprechend vier mögliche Fälle. Trage die richtige Lagebeziehung in das jeweilige Tabellenfeld ein.

Aufgabe 4 (Vertiefung)

Wir hatten bereits die Lage von zwei Geraden durch eine Schnittpunktberechnung untersucht. Begründe dass das nicht ausreicht, um alle möglichen Lagebeziehungen zu unterscheiden.

💡 Tipp

Es gibt bei der Schnittpunktberechnung drei mögliche Ergebnisse: Das entstehende LGS hat nämlich keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen. Es gibt aber viel Lagebeziehungen ....

Ein Algorithmus zur Untersuchung von Lagebeziehungen

Aufgabe 5 (Erarbeitung)

(a) In Aufgabe 2 kommen drei verschiedene Überlegungen vor, um die Lagebeziehung zu untersuchen. Beurteile, welche der Fragestellungen einfach zu klären ist. Welche erfordert mehr Aufwand?

• Sind die Richtungsvektoren linear abhängig?
• Liegt der Stützpunkt der einen Gerade auf der anderen? (Punktprobe)
• Haben die Geraden mindestens einen gemeinsamen Punkt? (Schnittpunktberechnung)

💡 Tipp

Alle drei Verfahren (lineare Abhängigkeit, Punktprobe, Schnittpunktberechnung) lösen wir mithilfe von linearen Gleichungssystemen. Analysiere, wie komplex die Gleichungssysteme sind: Wie viele Gleichungen gibt es? Wie viele Variablen? Wie wirkt sich das aufs Lösen aus?

(b) Mache mithilfe von Teil (a) einen Vorschlag, was wir für Lagebeziehungen zuerst untersuchen sollten. Gib für die möglichen Ergebnisse der ersten Untersuchung an, wie wir weiter vorgehen sollten.

💡 Tipp

Weil die Schnittpunktbestimmung relativ aufwändig ist, untersuchen wir in der Regel zuerst die beiden Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit. Es gibt hier nun zwei mögliche Ergebnisse mit jeweils zwei möglichen Lagebeziehungen. Überlege dir für beide Fälle (also Richtungsvektoren linear abhängig oder unabhängig), wie du unterscheiden kannst, welche der beiden Lagebeziehungen vorliegt.

💡 Tipp

Bei linear abhängigen Richtungsvektoren gibt es nur zwei Möglichkeiten für die Lagebeziehung. Um eine endgültige Entscheidung zu treffen, brauchen wir nun allerdings keine Schnittpunktberechnung. Es reicht aus, einfach zu überprüfen, ob der Stützpunkt der einen Geraden auf der anderen Geraden liegt. Begründe, warum das so ist und inwiefern das einen Vorteil darstellt.

Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig, ist die Sache nicht so einfach. Hier ist nun doch eine Schnittpunktberechnung erforderlich. Nenne die möglichen Lagebeziehungen bei linear unabhängigen Richtungsvektoren und begründe, warum es nun nicht ausreicht, zu überprüfen, ob der eine Stützpunkt auf der anderen Geraden liegt.

Aufgabe 6 (Sicherung)

(a) Ordne die Schritte in diesem Applet passend an. Die Rauten stellen Fragestellungen dar; in die Rechtecke kommen vorläufige Lagebeziehungen, die zu dem Zeitpunkt des Verfahrens möglich sind. In die Figuren mit abgerundeten Ecken kommen die endgültigen Lagebeziehungen.

Über die Darstellung

Bei dieser Darstellung handelt es sich um ein Flussdiagramm. Man nutzt solche Diagramme oft in der Informatik, um den Ablauf von Computerprogrammen darzustellen. Man kann damit aber auch ganz allgemein Algorithmen, also Handlungsvorschriften, darstellen.

In der Mathematik nutzt man an verschiedenen Stellen Algorithmen: Ein typisches Beispiel sind Konstruktionen in der Geometrie, zum Beispiel eine Achsenspiegelung. Auch die Schnittpunktberechnung im vorherigen Abschnitt war ein einfacher Algorithmus. Aus anderen Themenfeldern lassen sich zum Beispiel Funktionsuntersuchungen/Kurvendiskussionen (Analysis) und Signifikanztests (Stochastik) nennen.

(b) Fülle den Wissensspeicher aus.

Beispiele

Ein solches Verfahren trainiert man am besten, indem man es mehrfach bei einfachen Beispielen anwendet.

Aufgabe 7 (Anwendung)

Wende das Verfahren für jedes der nachfolgenden Beispiel an. Achte darauf, dass du ordentlich vorgehst. Dann kannst du deine Lösungen später als „Musterbeispiele“ verwenden.