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Zusammenfassung – Geradengleichung in Parameterform

Die Grundidee

Eine Gerade (im 3D-Raum bzw. der 2D-Ebene) ist eine Menge von Punkten, die in einer ganz bestimmten Weise angeordnet sind. Die Gesamtheit dieser Punkte kann man mit Hilfe von zwei Vektoren beschreiben:

einem Stützvektor, der vom Koordinatenursprung zu einem Punkt der Geraden führt und
einem Richtungsvektor, der die Richtung der Geraden festlegt.

Zum Herunterladen: gerade1.ggb

Im Applet ist $\vec{p} = \vec{O P}$ ein Stützvektor zur Geraden $g$ und $\vec{u}$ ein Richtungsvektorvektor zur Geraden $g$ .

Wenn der Parameter $t$ die reellen Zahlen durchläuft, dann erhält man sämtliche Punkte $X$ der Geraden $g$ . Der Punkt $X$ zum Parameter $t$ ist der Punkt zum Ortsvektor $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ . Man bewegt sich also vom Koordinatenursprung $O$ mit $\vec{p}$ erst zum Stützpunkt $P$ der Geraden und anschließend ein Vielfaches $t \cdot \vec{u}$ des Richtungsvektors zum Punkt $X$ der Geraden.

Eine Präzisierung

Der gefundene mathematische Zusammenhang wird durch den folgenden Satz präzisiert:

Vektorielle Geradengleichung:

Gegeben sind ein Stützvektor $\vec{p} = \vec{O P}$ , der zu einem Punkt $P$ einer Geraden $g$ führt, und ein Richtungsvektor $\vec{u}$ zur Geraden $g$ . Dann gilt:

(1) Für jede reelle Zahl $t$ liegt der Punkt $X$ mit $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ auf der Geraden $g$ . $\vec{x}$ ist hierbei der Ortsvektor $\vec{O X}$ .

(2) Ist $X$ ein Punkt der Geraden $g$ , so gibt es eine reelle Zahl $t$ , so dass für $\vec{x} = \vec{O X}$ gilt: $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ .

Wir benutzen die folgende Kurzschreibweise und nennen eine solche Darstellung Geradengleichung in Parameterform:

Eine Gerade wird beschrieben durch die Gleichung:

$g$ : $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ (mit $t \in R$ )

Denselben Zusammenhang kann man auch so formulieren:

Vektorielle Geradengleichung:

Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt auf der Geraden $g$ mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und dem Richtungsvektor $\vec{u}$

genau dann, wenn

es eine reelle Zahlen $t$ gibt, so dass $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ gilt.

Beispiel einer Geradenbeschreibung

Beispiel:

Betrachte eine Gerade mit dem Stützvektor $\vec{p} = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})$ und dem Richtungsvektor $\vec{u} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{matrix})$ . Man erhält dann folgende Geradengleichung:

$g$ : $\vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{matrix})$ (mit $t \in R$ )

Zum Herunterladen: gerade2.ggb

Durch Variation des Parameters $t$ erhält man alle Punkte der Geraden. Beachte: Im Applet ist mit dem Schieberegler nur ein eingegrenzter Bereich der reellen Zahlen einstellbar.

Variation der Geradengleichung

Beachte, dass man den Parameter auch anders benennen kann. Die Gerade $g$ im Beispiel oben lässt sich genauso mit einem anders benannten Parameter (z.B. $r$ ) beschreiben.

$g$ : $\vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{matrix})$ (mit $r \in R$ )

Eine Gerade $g$ kann durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschrieben werden. Bei der Wahl der beiden Vektoren gibt es Spielräume:

Der Stützvektor kann ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Gerade sein. Es gibt also unendlich viele Möglichkeiten bei der Wahl des Stützvektors.
Es gibt auch unendlich viele Möglichkeiten bei der Wahl des Richtungsvektorvektors. Der Vektor muss nur „entlang der Geraden“ liegen. Alle Richtungsvektoren sind demnach linear abhängig. Nicht erlaubt ist der Nullvektor, da er keine Richtung festlegt.

Im folgenden Applet kann man den Punkt $P$ – und damit den Stützvektor – und zusätzlich den Punkt $Q$ – und damit den Richtungsvektor – variieren. Es ergeben sich hierdurch verschiedene Geradengleichungen für ein und dieselbe Gerade.

Zum Herunterladen: gerade3.ggb

Aufstellen einer Geradengleichung

Oft kommt es vor, dass man eine Gleichung zu einer Geraden, die durch zwei Punkte gegeben ist, bestimmen soll.

Beispiel:

Gegeben sind die Punkte $A (2 | 0 | 4)$ und $B (1 | 1 | 3)$ . Gesucht sind Gleichungen zur Beschreibung der Geraden durch $A$ und $B$ .

Einige Lösungen

Es gibt unendlich viele Möglichkeiten zur Beschreibung dieser Geraden. Man kann sowohl den Stützvektor als auch den Richtungsvektor variieren. Z.B. so:

$\vec{x} = \underset{\begin{matrix} \vec{O A} \end{matrix}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})}} + t \cdot \underset{\begin{matrix} \vec{A B} \end{matrix}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})}}$

$\vec{x} = \underset{\begin{matrix} \vec{O B} \end{matrix}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})}} + t \cdot \underset{\begin{matrix} \vec{B A} \end{matrix}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})}}$

$\vec{x} = \underset{\begin{matrix} \vec{O A} \end{matrix}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})}} + t \cdot \underset{\begin{matrix} 3 \cdot \vec{A B} \end{matrix}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ - 3 \end{matrix})}}$

$\vec{x} = \underset{\begin{matrix} \vec{O M_{A B}} \end{matrix}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1.5 \\ 0.5 \\ 3.5 \end{matrix})}} + t \cdot \underset{\begin{matrix} \vec{B A} \end{matrix}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})}}$