Punkte überprüfen
Überprüfung von Punkten
Wenn eine Geradengleichung in Parameterform gegeben ist, dann will man manchmal wissen, ob ein vorgegebener Punkt auf der Geraden liegt oder nicht. Betrachte hierzu den folgenden Fall:
Beispiel 1:
Liegt der Punkt $A(-5|4|5)$ auf der Geraden $g$ mit $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ ?
Aufgabe 1
(a) Nutze das Applet, um einen passenden Parameter $t$ zu finden.
(b) Setze das gefundene $t$ in die Geradengleichung ein und rechne nach, dass das Applet keinen Fehler gemacht hat.
Zum Herunterladen: gerade5.ggb
Schwieriger ist dieser Fall:
Beispiel 2:
Liegt der Punkt $B(12|-13|-4)$ auf der Geraden $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ ?
Aufgabe 2
(a) Nutze das Applet aus Aufgabe 1, um einen passenden Parameter $t$ zu finden. Du wirst aber keinen Parameter finden.
(b) Erkläre kurz, warum dieses Probier-Verfahren noch kein richtiges Argument dafür ist, dass es im Beispiel 2 auch wirklich keinen Parameter gibt.
Ein Rechenverfahren
Das Probier-Verfahren führt bei der Überprüfung von Punkten manchmal zum Ziel. Oft gelingt es aber auch nicht. Man benötigt dann ein besseres Verfahren, das immer zu einem Ergebnis führt. Zur Entwicklung eines Rechenverfahrens betrachten wir noch einmal die beiden oben aufgeführten Beispiele.
Aufgabe 3
Damit Punkt $B(12|-13|-4)$ auf der Geraden $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ liegt, muss folgende Bedingung für eine passende reelle Zahl $t$ erfüllt sein:
$\left(\begin{array}{c} 12 \\ -13 \\ -4 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right) $
(a) Die Bedingung kann man in ein Gleichungssystem überführen. Ergänze zunächst die fehlenden Gleichungen.
$\begin{array}{lrcrcr} &\quad \textbf{[1]} &\quad 12 &=& 1 &+& (-1) \cdot t \\ &\quad \textbf{[2]} &\quad & & & & \\ &\quad \textbf{[3]} &\quad & & & & \end{array}$
(b) Überprüfe nun, ob es einen Wert für $t$ gibt, der alle Gleichungen erfüllt.
Aufgabe 4
Überprüfe analog, ob der Punkt $B(-1.4|0.4|3.2)$ auf der Geraden $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ liegt.
