Lasershow

Laserstrahlen

Bei einer Lasershow werden die Laserstrahlen in Richtung der Betrachter in den Raum hinein projiziert. Durch den Dunst im Raum werden die Laserstrahlen sichtbar gemacht.

Das ist nicht ungefährlich. Laserstrahlen können zu Verletzungen der Augen und der Haut führen. Daher ist die Anwendung von Laser für Show-Zwecke streng reglementiert. Insbesondere müssen die Laserbahnen genau geplant werden. Mit einer solchen Planung werden wir uns in diesem Abschnitt beschäftigen.

Beschreibung einer Laserbahn

Ein Laser wird üblicherweise an einer Stelle im Raum befestigt und dann so ausgerichtet, dass er die Laserstrahlen in die gewünschte Richtung sendet.

Aufgabe 1

Im Applet unter der Aufgabe wurde der Laser am Punkt $P(3|-1|2)$ aufgestellt; die Richtung der Laserstrahlen wird durch den Vektor $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{array}\right)$ beschreiben.

(a) Bewege den Schieberegler langsam von 0 auf 10 (und gegebenenfalls wieder zurück). Hierdurch entsteht die Laserbahn. Zusätzlich wird im oberen Fenster angezeigt, wie die einzelnen Punkte der Laserbahn berechnet werden. Erläutere, wie die Berechnung der Punkte der Laserbahn zustande kommt.

(b) Führe zur Kontrolle einige Berechnungen selbst durch. Berechne für $t = 4$ und $t = 0.5$ die entsprechenden Punkte der Laserbahn. Kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet.

Zum Herunterladen: laser1.ggb

Aufgabe 2

Auf der Zuschauertribüne sitzen Paula und Richard an den Positionen $(-9|5|8)$ und $(-11|6|10)$. Sind sie gefährdet? Begründe mit geeigneten Argumenten und Berechnungen.

💡 Ansatz

Für Paula muss die folgende Bedingung ausgewertet werden:

$\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -9 \\ 5 \\ 8 \end{array}\right)$

bzw.

$t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ 6 \\ 6 \end{array}\right)$

Daraus ergibt sich ein LGS mit drei Gleichungen. Löse sie nach $t$ auf und schaue, ob du immer dasselbe $t$ erhältst.