Übungen - Ereignisse
Aufgabe 1 - Skatblatt
Die Abbildung zeigt ein vollständiges Skatblatt mit den Farben Karo ♦, Herz ♥, Pik ♠ und Kreuz ♣.
Betrachte das folgende Wahrscheinlichkeitsmodell.
| Realität | Modell |
|---|---|
| Zufallsexperiment: eine Karte aus einem gut durchmischten Skatblatt ziehen und dabei die Farbe (z.B. Pik) und Wertigkeit der Karte (z.B. König) beobachten |
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| Ergebnisse: Karo-7, ..., Kreuz-Ass |
Ergebnismenge: {K-7, ..., K-A, H-7, ..., H-A, P-7, ..., P-A, X-7, ..., X-A } |
| Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. |
Wahrscheinlichkeitsfunktion: $P(e) = \displaystyle{\frac{...}{...}}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$ |
(a) Ergänze zunächst die Festlegung der Wahrscheinlichkeitsfunktion.
(b) Ergänze in der Tabelle die Beschreibung der Ereignisse mit Ergebnismengen und bestimme die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
| Ereignis - Realität | Ereignis - Modell | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| $A$: eine Pik-Karte | $A = \{ ... \}$ | $P(A) = \displaystyle{\frac{...}{...}}$ |
| $B$: eine Dame | $B = $ | $P(B) = $ |
| $C$: Herz 9 | $C = $ | $P(C) = $ |
| $D$: keine Dame | $D = $ | $P(D) = $ |
| $E$: eine Dame oder einen König | $E = $ | $P(E) = $ |
| $F$: entweder eine Dame oder Karo | $F = $ | $P(F) = $ |
| $G$: A und B | $G = $ | $P(G) = $ |
| $H$: A oder B | $H = $ | $P(H) = $ |
| $I$: nicht C | $I = $ | $P(I) = $ |
| $J$: A, aber nicht B | $J = $ | $P(J) = $ |
| $K$: B, aber nicht A | $K = $ | $P(K) = $ |
Aufgabe 2 - Werfen von Pyramidenwürfel
Betrachte das Zufallsexperiment 2 Pyramidenwürfel werfen und dabei die Augenzahlen der beiden Würfel beobachten
.
Die Übersicht gibt Schätzungen der Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ergebnisse dieses Zufallsexperiments an.
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$0.16$ | $0.06$ | $0.06$ | $0.06$ | $0.06$ | $0.02$ |
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$0.06$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0075$ |
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$0.06$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0075$ |
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$0.06$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0075$ |
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$0.06$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0075$ |
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$0.02$ | $0.0075$ | $0.0075$ | $0.0075$ | $0.0075$ | $0.0025$ |
Ergänze in der Tabelle die Beschreibung der Ereignisse mit Ergebnismengen und bestimme die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
| Ereignis - Realität | Ereignis - Modell | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| $A$: die Augensumme ist kleiner als 4 | $A = \{ 11, 12, 21 \}$ | $P(A) = ...$ |
| $B$: die Augendifferenz beträgt 0 | $B = $ | $P(B) = $ |
| $C$: die Augendifferenz ist größer als 5 | $C = $ | $P(C) = $ |
| $D$: A und B | $D = $ | $P(D) = $ |
| $E$: A oder B | $E = $ | $P(E) = $ |
| $F$: nicht B | $F = $ | $P(F) = $ |
| $G$: A und (nicht B) | $G = $ | $P(G) = $ |
| $H$: nicht (A und B) | $H = $ | $P(H) = $ |
Aufgabe 3 - Daten einer Erhebung
In einer Studie des RKI wurde die Anwendung von Arznei- und Nahrungsergänzungsmitteln im Kindes- und Jugendalter in Deutschland untersucht.
In dieser Studie wurden u.a. folgende Daten erhoben.
- Geschlecht? (weiblich/männlich)
- Frage: Hat Ihr Kind innerhalb der letzten 7 Tage Medikamente oder Nahrungsergänzungsmittel, wie z. B. Vitamine oder Mineralstoffe, eingenommen? (ja / nein)
Gehe von den Daten in der folgenden Vierfeldertafel aus.
| weiblich | männlich | Summe | |
|---|---|---|---|
| ja | 671 | 1072 | ... |
| nein | 591 | 1128 | ... |
| Summe | ... | ... | ... |
(a) Ergänze zunächst die absoluten Häufigkeiten in der Summenspalte bzw. Summenzeile der Vierfeldertafel.
(b) Betrachte die Befragung als Zufallsexperiment:
| Realität | Modell |
|---|---|
| Zufallsexperiment: Eine (beliebig ausgewählte) Person befragen und dabei die Antworten auf die beiden Merkmale Geschlecht und Medikamenteneinnahme beobachten |
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| Ergebnisse: w-j: weiblich und ja w-n: weiblich und nein m-j: männlich und ja m-n: männlich und nein |
Ergebnismenge: { w-j, w-n, m-j, m-n } |
| Wahrscheinlichkeitsannahme: Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus den relativen Häufigkeiten |
Wahrscheinlichkeitsfunktion: $P(\text{w-j}) = \displaystyle{\frac{671}{3462}} \approx 0.385 = 38.5 \%$ ... |
Zur Beschreibung der Befragungsresultate benutzen wir die folgenden Ereignisse:
- $W$: Geschlecht? weiblich
- $\overlinepatch{W}$: Geschlecht? männlich
- $M$: Medikamenteneinnahme? ja
- $\overlinepatch{M}$: Medikamenteneinnahme? nein
Kläre folgende Fragen und dokumentiere die Überlegungen (siehe unten).
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(W)$, dass eine zufällig gewählte Person weiblich ist?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(\overlinepatch{W})$, dass eine zufällig gewählte Person nicht weiblich (das bedeutet hier: männlich) ist?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(M)$, dass eine zufällig gewählte Person auf die Frage zur Medikementeneeinnahme mit ja geantwortet hat?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(\overlinepatch{M})$, dass eine zufällig gewählte Person auf die Frage zur Medikementeneeinnahme mit nein geantwortet hat?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(W \cap M)$, dass eine zufällig gewählte Person weiblich ist und Medikamente eingenommen hat?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(\overlinepatch{W} \cap \overlinepatch{M})$, dass eine zufällig gewählte Person nicht weiblich ist und keine Medikamente eingenommen hat?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(W \cup M)$, dass eine zufällig gewählte Person weiblich ist oder Medikamente eingenommen hat?
Dokumentationsbeispiel:
$P(W) = P(\{ w-j, w-n\}) = \displaystyle{\frac{671}{3462}} + \displaystyle{\frac{...}{...}} \approx ...$
