Übungen - Ereignisse

Aufgabe 1 - Skatblatt

Die Abbildung zeigt ein vollständiges Skatblatt mit den Farben Karo ♦, Herz ♥, Pik ♠ und Kreuz ♣.

Betrachte das folgende Wahrscheinlichkeitsmodell.

Realität	Modell
Zufallsexperiment: eine Karte aus einem gut durchmischten Skatblatt ziehen und dabei Farbe (z. B. Pik) und Wertigkeit der Karte (z. B. König) beobachten
Ergebnisse: Karo-7, ..., Kreuz-Ass	Ergebnismenge: {K-7, ..., K-A, H-7, ..., H-A, P-7, ..., P-A, X-7, ..., X-A }
Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.	Wahrscheinlichkeitsfunktion: $P(e) = \displaystyle{\frac{...}{...}}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$

(a) Ergänze zunächst die Festlegung der Wahrscheinlichkeitsfunktion.

(b) Ergänze in der Tabelle die Beschreibung der Ereignisse mit Ergebnismengen und bestimme die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Ereignis - Realität	Ereignis - Modell	Wahrscheinlichkeit
$A$: eine Pik-Karte	$A = \{ ... \}$	$P(A) = \displaystyle{\frac{...}{...}}$
$B$: eine Dame	$B = $	$P(B) = $
$C$: Herz 9	$C = $	$P(C) = $
$D$: keine Dame	$D = $	$P(D) = $
$E$: eine Dame oder einen König	$E = $	$P(E) = $
$F$: entweder eine Dame oder Karo	$F = $	$P(F) = $
$G$: A und B	$G = $	$P(G) = $
$H$: A oder B	$H = $	$P(H) = $
$I$: nicht C	$I = $	$P(I) = $
$J$: A, aber nicht B	$J = $	$P(J) = $
$K$: B, aber nicht A	$K = $	$P(K) = $

Aufgabe 2 - Werfen von Pyramidenwürfel

Betrachte das Zufallsexperiment 2 Pyramidenwürfel werfen und dabei die Augenzahlen der beiden Würfel beobachten. Die Übersicht gibt Schätzungen der Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ergebnisse dieses Zufallsexperiments an.

	$0.16$	$0.06$	$0.06$	$0.06$	$0.06$	$0.02$
	$0.06$	$0.0225$	$0.0225$	$0.0225$	$0.0225$	$0.0075$
	$0.06$	$0.0225$	$0.0225$	$0.0225$	$0.0225$	$0.0075$
	$0.06$	$0.0225$	$0.0225$	$0.0225$	$0.0225$	$0.0075$
	$0.06$	$0.0225$	$0.0225$	$0.0225$	$0.0225$	$0.0075$
	$0.02$	$0.0075$	$0.0075$	$0.0075$	$0.0075$	$0.0025$

Ergänze in der Tabelle die Beschreibung der Ereignisse mit Ergebnismengen und bestimme die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Ereignis - Realität	Ereignis - Modell	Wahrscheinlichkeit
$A$: die Augensumme ist kleiner als 4	$A = \{ 11, 12, 21 \}$	$P(A) = ...$
$B$: die Augendifferenz beträgt 0	$B = $	$P(B) = $
$C$: die Augendifferenz ist größer als 5	$C = $	$P(C) = $
$D$: A und B	$D = $	$P(D) = $
$E$: A oder B	$E = $	$P(E) = $
$F$: nicht B	$F = $	$P(F) = $
$G$: A und (nicht B)	$G = $	$P(G) = $
$H$: nicht (A und B)	$H = $	$P(H) = $

Aufgabe 3 - Daten einer Erhebung

In einer Studie des RKI wurde die Anwendung von Arznei- und Nahrungsergänzungsmitteln im Kindes- und Jugendalter in Deutschlanduntersucht.

In dieser Studie wurden u.a. folgende Daten erhoben:

Gehe von den Daten in der folgenden Vierfeldertafel aus.

	weiblich	männlich	Summe
ja	671	1072	...
nein	591	1128	...
Summe	...	...	...

(a) Ergänze zunächst die absoluten Häufigkeiten in der Summenspalte bzw. Summenzeile der Vierfeldertafel.

(b) Betrachte die Befragung als Zufallsexperiment:

Realität	Modell
Zufallsexperiment: Eine (beliebig ausgewählte) Person befragen und dabei die Antworten auf die beiden Merkmale Geschlecht und Medikamenteneinnahme beobachten
Ergebnisse: w-j: weiblich und ja w-n: weiblich und nein m-j: männlich und ja m-n: männlich und nein	Ergebnismenge: { w-j, w-n, m-j, m-n }
Wahrscheinlichkeitsannahme: Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus den relativen Häufigkeiten	Wahrscheinlichkeitsfunktion: $P(\text{w-j}) = \displaystyle{\frac{671}{3462}} \approx 0.385 = 38.5 \%$ ...

Zur Beschreibung der Befragungsresultate benutzen wir die folgenden Ereignisse:

• $W$: Geschlecht? weiblich
• $\overlinepatch{W}$: Geschlecht? männlich
• $M$: Medikamenteneinnahme? ja
• $\overlinepatch{M}$: Medikamenteneinnahme? nein

Kläre folgende Fragen und dokumentiere die Überlegungen (siehe unten).

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(W)$, dass eine zufällig gewählte Person weiblich ist?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(\overlinepatch{W})$, dass eine zufällig gewählte Person nicht weiblich (das bedeutet hier: männlich) ist?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(M)$, dass eine zufällig gewählte Person auf die Frage zur Medikamenteneinnahme mit ja geantwortet hat?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(\overlinepatch{M})$, dass eine zufällig gewählte Person auf die Frage zur Medikamenteneinnahme mit nein geantwortet hat?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(W \cap M)$, dass eine zufällig gewählte Person weiblich ist und Medikamente eingenommen hat?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(\overlinepatch{W} \cap \overlinepatch{M})$, dass eine zufällig gewählte Person nicht weiblich ist und keine Medikamente eingenommen hat?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(W \cup M)$, dass eine zufällig gewählte Person weiblich ist oder Medikamente eingenommen hat?

Dokumentationsbeispiel:

$P(W) = P(\{ w-j, w-n\}) = \displaystyle{\frac{671}{3462}} + \displaystyle{\frac{...}{...}} \approx ...$