Strukturierung – Mehrstufige Zufallsexperimente
Würfelexperimente als gestufte Zufallsexperimente
Im letzten Kapitel hast du dich intensiv mit dem mehrfachen Werfen eines Würfels beschäftigt. Hier nochmal zwei betrachtete Situationen:
Zufallsexperiment 1:
Ein Würfel wird genau 3-mal geworfen. Dabei wird beobachtet, ob bei den einzelnen Würfen eine 6 oder keine 6 fällt.
Applet zum Zufallsexperiment 1
Zum Herunterladen: baum_3malwuerfeln_4.ggb
Zufallsexperiment 2:
Ein Würfel wird solange geworfen, bis eine 6 fällt. Dabei wird beobachtet, ob bei den jeweiligen Würfen eine 6 oder keine 6 fällt.
Applet zum Zufallsexperiment 2
Zum Herunterladen: baum_3malwuerfeln_6.ggb
Die Baumdiagramme verdeutlichen in beiden Fällen sehr gut, dass die betrachteten Zufallsexperimente eine gestufte Struktur haben. Bei dieser gestuften Struktur ist das Zufallsexperiment aus mehreren Teilzufallsexperimenten zusammengesetzt. Ziel der folgenden Betrachtungen ist es, weitere solche Zufallsexperimente kennenzulernen.
Weitere gestufte Zufallsexperimente untersuchen
Die folgenden Situationen können als Zufallsexperimente angesehen werden, die aus mehreren Teilzufallsexperimenten zusammengesetzt sind und (zumindest in Gedanken) hintereinander ausgeführt werden können:
Zufallsexperiment 3:
Eine Münze wird dreimal geworfen. Dabei wird beobachtet, ob jeweils K(opf) oder Z(ahl) fällt.
Zufallsexperiment 4:
Drei Münzen werden geworfen. Dabei wird beobachtet, ob bei den Münzen K(opf) oder Z(ahl) fällt.
Zufallsexperiment 5:
Das Spiel Schere-Stein-Papier wird von zwei Personen A und B gespielt. Dabei wird beobachtet, ob sich Person A und Person B für Schere (X), Stein (O) oder Papier (I) entscheiden.
Zufallsexperiment 6:
In einem Beutel befinden sich zwei A(epfel), eine B(irne) und eine C(lementine). W. greift zweimal in den Beutel und nimmt jeweils das, was zuerst in die Hand kommt. Dabei wird die Abfolge der Obstsorten beobachtet, die W. nach und nach aus dem Beutel zieht.
Aufgabe 1
Beschreibe die gestufte Struktur der Zufallsexperimente jeweils mit einem Baumdiagramm. Verdeutliche (ggf. exemplarisch), wie man ausgehend vom Baumdiagramm die Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten erhält.
Hinweis: Bei der Bearbeitung der Zufallsexperimente kann arbeitsteilig vorgegangen werden. Zur Kontrolle sind unten passende GeoGebra-Applets bereitgestellt.
Applet zum Zufallsexperiment 3
Zum Herunterladen: muenzenwerfen.ggb
Verwende den Schalter in der linken oberen Ecke, um die passende Beschriftung der Stufen herzustellen.
Applet zum Zufallsexperiment 4
Zum Herunterladen: muenzenwerfen.ggb
Verwende den Schalter in der linken oberen Ecke, um die passende Beschriftung der Stufen herzustellen.
Applet zum Zufallsexperiment 5
Zum Herunterladen: scheresteinpapier.ggb
Applet zum Zufallsexperiment 6
Zum Herunterladen: obstbeutel2.ggb
Die Erkenntnisse zusammenfassen
Ein mehrstufiges Zufallsexperiment ist aus mehreren Teilexperimenten zusammengesetzt, die (ggf. in Gedanken) hintereinander ausgeführt werden.
Aufgabe 2
Manchmal muss das Zufallsexperiment in Gedanken zerlegt werden. Verdeutliche das anhand von Zufallsexperiment 4.
Die Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments lassen sich mit einem Baumdiagramm bestimmen. Jeder Pfad im Baumdiagramm entspricht einem Ergebnis des Zufallsexperiments. Diese Ergebnisse werden mit einer Auflistung der Teilergebnisse längs eines Pfades (in Tupelform oder durch direktes Hintereinanderschreiben) beschrieben.
Aufgabe 3
Verdeutliche das anhand von Zufallsexperiment 6. Erläutere, was z. B. die Schreibweise "ABC" hier darstellt und, dass sie eine verkürzte Version der Tupelform $(A, B, C)$ darstellt.
Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines mehrstufigen Zufallsexperiments erhält man, indem die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Teilergebnisse (längs des entsprechenden Pfades) multipliziert werden.
Aufgabe 4
Erkläre mit Hilfe des GeoGebra-Applets, warum die Festlegung der Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten nach der Pfadregel sinnvoll ist.
Zum Herunterladen: pfadregel.ggb
