Erarbeitung – Datenanalyse

Das Zufallsexperiment mit einem Baum beschreiben

Das im letzten Abschnitt beschriebene Vorgehen lässt sich als zweistufiges Zufallsexperiment beschreiben.

Zum Herunterladen: baumdiagramm_randomized_response.ggb

Aufgabe 1

Vervollständige das Baumdiagramm. Trage zunächst Wahrscheinlichkeiten an die Äste des Baumes ein.

• Gehe bei der ersten Stufe Wahl der Karte davon aus, dass die drei Karten mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen werden.
• Bei der zweiten Stufe Antwort mit Ja/Nein musst du berücksichtigen, dass bei einigen Karten eine $0$ oder $1$ als Wahrscheinlichkeit steht. Die noch unbekannte Wahrscheinlichkeit kannst du mit $p$ bezeichnen.

Kontrolle

Zum Herunterladen: baumdiagramm_randomized_response2.ggb

Aufgabe 2

Gehe davon aus, dass 40% aller befragten Personen auf die gezogene Karte mit Ja antworten. Bestimme mit dieser Information die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Hilfen

Begründe jeweils:

• Man weiß, dass $P(\{AJ, BJ, CJ\}) = 0.4 = \frac{2}{5}$.
• Hieraus folgt $P(AJ) = \frac{2}{5}-\frac{1}{3}$.
• Man weiß auch, dass $P(AJ) = \frac{1}{3} \cdot p$.
• Jetzt kann man erschließen, dass $p = \frac{1}{5}$.

Aufgabe 3

Gehe nun davon aus, dass 45% aller befragten Personen auf die gezogene Karte mit Nein antworten. Bestimme mit dieser Information die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Hilfen

Begründe jeweils:

• Man weiß, dass $P(\{AN, BN, CN\}) = 0.45 = \frac{45}{100}$.
• Hieraus folgt $P(AN) = \frac{45}{100}-\frac{1}{3}$.
• Man weiß auch, dass $P(AN) = \frac{1}{3} \cdot (1-p$).
• Jetzt kann man erschließen, dass $p = \frac{65}{100}$.

Aufgabe 4

Ist es bei dem hier betrachteten Zufallsexperiment möglich, dass 70% aller befragten Personen auf die gezogene Karte mit Ja antworten? Begründe deine Antwort.

Hilfen

Betrachte das Baumdiagramm mit den ergänzten Wahrscheinlichkeiten aus Aufgabe 1.

Nimm an, dass $p = 1$ gilt. Somit hat jeder, der die Karte mit der Frage "Hast du schon einmal Cannabis konsumiert?" gezogen hat, auf diese Karte mit Ja geantwortet.

Also gilt $P(AJ) = \frac{1}{3}$.

Nun kannst du $P(\{AJ, BJ, CJ\})$ berechnen.

Begründe abschließend, warum $P(\{AJ, BJ, CJ\})$ unter der Annahme $p = 1$ den maximalen Anteil der Personen darstellt, die auf ihre gezogene Karte mit Ja geantwortet haben.