Übungen – Wahrscheinlichkeiten und Häufigkeiten
Aufgabe 1 - Zufallsexperimente
Welche der folgenden Vorgänge können als Zufallsexperimente angesehen werden? Begründe mit den Kriterien, die ein Zufallsexperiment erfüllen muss.
Kriterien:
- Bei dem Vorgang sind mehrere Ergebnisse möglich.
- Bei dem Vorgang kann vorab genau angegeben werden, welche Ergebnisse eintreten.
- Der Vorgang kann unter gleichen Bedingungen wiederholt durchgeführt werden.
Vorgänge:
- Vorgang "Münze werfen": Liegt "Kopf" oder "Zahl" oben?
- Vorgang "Regenmenge bestimmen": Wie viel Regen fällt heute genau in einer Woche in meinem Wohnort?
- Vorgang "Tage zählen": Wie viele Tage sind es von heute an bis Weihnachten?
- Vorgang "Befagung durchführen": Welche Antwort wird die mir unbekannte befragte Person ankreuzen?
- Vorgang "Das Fußballspiel Deutschland gegen Frankreich (Frauen bzw. Männer) durchführen": Welche Mannschaft gewinnt oder geht es unentschieden aus?
Aufgabe 2 - Häufigkeiten
Eine Würfelserie mit einem Würfel hat folgende Ergebnisse geliefert:
2 5 1 6 5 4 6 2 5 5 2 2 6 6 5 3 2 6 5 4
(a) Bestimme zunächst die Häufigkeiten der Ergebnisse.
| Augenzahl e | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| abs. Hfkt. $H(e)$ | ||||||
| rel. Hfkt. $h(e)$ |
(b) Kann mit Hilfe dieser Daten herausgefunden werden, ob es sich um einen fairen Standardwürfel handelt? Begründe deine Antwort.
Aufgabe 3 - Wahrscheinlichkeiten
Für einen gezinkten Würfel wurden folgende Wahrscheinlichkeiten experimentell bestimmt.
| Augenzahl $e$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Wahrscheinlichkeit $P(e)$ | 0.3 | 0.2 | 0.16 | 0.14 | 0.12 | 0.08 |
Der gezinkte Würfel soll 200-mal geworfen werden. Erstelle eine Prognose, wie oft die Augenzahlen dabei voraussichtlich in etwa vorkommen.
Aufgabe 4 - Wahrscheinlichkeiten
Es gibt zahlreiche Schmerzmittel auf dem Markt. Mit einer Untersuchung wollen mehrere Forscherteams herausfinden, ob Schmerzmittel A oder Schmerzmittel B besser wirkt. Hierzu werden Personen gebeten, die beiden Schmerzmittel abwechselnd eine Zeit lang zu verwenden. Anschließend werden sie befragt, welches Schmerzmittel ihrer Meinung nach besser wirkt.
- Forscherteam 1: 7 von 10 befragten Personen geben an, dass Schmerzmittel A besser wirkt.
- Forscherteam 2: 57 von 100 befragten Personen geben an, dass Schmerzmittel A besser wirkt.
- Forscherteam C: 535 von 1000 befragten Personen geben an, dass Schmerzmittel B besser wirkt.
Ziel ist es, diese Forschungsergebnisse zu bewerten. Nimm hierzu erst einmal an, dass beide Schmerzmittel gleich gut wirken. Bei der Befragung einer Person müsste sie dann mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.5$ das Ergebnis $e$: "Schmerzmittel A wirkt besser" nennen. Wenn jetzt $n$ Personen befragt werden, dann lässt sich für $p = 0.5$ die relative Häufigkeit Häufigkeit $h(e)$ mit dieser Faustformel abschätzen:
$\underbrace{0.5 - \frac{1}{\sqrt{n}} \leq h(e) \leq 0.5 + \frac{1}{\sqrt{n}}}_{\text{nach \(n\) Versuchen in ca. 95% aller Versuchsreihen}}$
Nutze diese Formel, um die Forschungsergebnisse unter dem Gesichtspunkt "Zufallsschwankungen" zu beurteilen.
