Zusammenfassung - Verknüpfung von Ereignissen
Einen Kontext betrachten
Zur Verdeutlichung der Zusammenhänge betrachten wir auch hier Augensummen von zwei Würfeln.
2-Würfel-Summen-Modell:
| Realität | Modell | ||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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Zufallsexperiment: zwei Standardwürfel werfen und dabei die Summe der Augenzahlen beobachten |
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| Ergebnisse: Summe beträgt 2 Summe beträgt 3 ... |
Ergebnismenge: $\Omega = \{2, 3, 4, ..., 11, 12\}$ |
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| Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle Augenkombinationen der beiden Würfel sind gleichwahrscheinlich. |
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
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Ereignisse kombinieren
Und-Verknüpfung:
| Ereignisse - Realität | Ereignisse - Modell |
|---|---|
| $X$: die Augensumme ist kleiner als 6 | $X = \{ 2, 3, 4, 5 \}$ |
| $Y$: die Augensumme ist größer als 3 | $Y = \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \}$ |
| $X$ und $Y$: die Augensumme ist kleiner als 6 und die Augensumme ist größer als 3 | $X \cap Y = \{ 4, 5 \}$ |
Oder-Verknüpfung:
| Ereignisse - Realität | Ereignisse - Modell |
|---|---|
| $X$: die Augensumme liegt im Bereich 2...6 | $X = \{ 2, 3, 4, 5, 6 \}$ |
| $Y$: die Augensumme liegt im Bereich 4...8 | $Y = \{ 4, 5, 6, 7, 8 \}$ |
| $X$ oder $Y$: die Augensumme liegt im Bereich 2...6 oder die Augensumme liegt im Bereich 4...8 | $X \cup Y = \{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$ |
Beachte: Die oder-Verknüpfung entspricht nicht dem entweder-oder
aus unserer Alltagssprache.
Sie lässt sich so beschreiben: das eine oder das andere oder auch beides
.
Nicht-Verknüpfung:
| Ereignisse - Realität | Ereignisse - Modell |
|---|---|
| $X$: die Augensumme ist kleiner als 10 | $X = \{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$ |
| nicht $X$: die Augensumme ist nicht kleiner als 10 | $\overlinepatch{X} = \{ 10, 11, 12 \}$ |
Ein Ereignis, das man mit dem nicht-Operator erhält, nennt wird auch Gegenereignis genannt.
Zu einem Ereignis $X$ enthält das Gegenereignis $\overlinepatch{X}$ alle Ergebnisse aus der Grundmenge $\Omega$, die nicht in $X$ enthalten sind.
Wahrscheinlichkeiten kombinierter Ereignisse
Wir stellen hier einige Rechenregeln zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten kombinierter Ereignisse zusammen.
Am häufigsten benutzt wird die folgende Regel zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses genutzt.
Für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overlinepatch{X}$ zu einem Ereignis $X$ gilt:
$P(X) + P(\overlinepatch{X}) = 1$
$P(\overlinepatch{X}) = 1 - P(X)$
Recht einfach sind die Berechnungen, wenn zwei Ereignisse unvereinbar sind.
Zwei Ereignisse $X$ und $Y$ heißen unvereinbar genau dann, wenn sie nicht beide eintreten können bzw. wenn das Und-Ereignis die leere Menge ergibt: $X \cap Y = \emptyset$.
Für unvereinbare Ereignisse erhält man folgende Rechenregeln:
Für zwei unvereinbare Ereignisse $X$ und $Y$ gilt:
$P(X \cap Y) = 0$
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y)$
