o-mathe | Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit » Zusammenfassung

Zusammenfassung - Verknüpfung von Ereignissen

Einen Kontext betrachten

Zur Verdeutlichung der Zusammenhänge betrachten wir auch hier Augensummen von zwei Würfeln.

2-Würfel-Summen-Modell:

Realität

Modell

Zufallsexperiment:
zwei Standardwürfel werfen und dabei die Summe der Augenzahlen beobachten

Ergebnisse:
Summe beträgt 2
Summe beträgt 3
...

Ergebnismenge:

Ω = {2, 3, 4, . . ., 11, 12}

Wahrscheinlichkeitsannahme:
Alle Augenkombinationen der beiden Würfel sind gleichwahrscheinlich.

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

$e$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$P (e)$	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

Ereignisse kombinieren

Und-Verknüpfung:

Ereignisse - Realität	Ereignisse - Modell
$X$ : die Augensumme ist kleiner als 6	$X = {2, 3, 4, 5}$
$Y$ : die Augensumme ist größer als 3	$Y = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}$
$X$ und $Y$ : die Augensumme ist kleiner als 6 und die Augensumme ist größer als 3	$X \cap Y = {4, 5}$

Visualisierung einer Schnittmenge als Mengendiagramm

Oder-Verknüpfung:

Ereignisse - Realität	Ereignisse - Modell
$X$ : die Augensumme liegt im Bereich 2...6	$X = {2, 3, 4, 5, 6}$
$Y$ : die Augensumme liegt im Bereich 4...8	$Y = {4, 5, 6, 7, 8}$
$X$ oder $Y$ : die Augensumme liegt im Bereich 2...6 oder die Augensumme liegt im Bereich 4...8	$X \cup Y = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$

Visualisierung einer Vereinigungsmenge als Mengendiagramm

Beachte: Die oder-Verknüpfung entspricht nicht dem entweder-oder aus unserer Alltagssprache. Sie lässt sich so beschreiben: das eine oder das andere oder auch beides.

Nicht-Verknüpfung:

Ereignisse - Realität	Ereignisse - Modell
$X$ : die Augensumme ist kleiner als 10	$X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$
nicht $X$ : die Augensumme ist nicht kleiner als 10	$\overset{}{X} = {10, 11, 12}$

Visualisierung eines Gegenereignisses als Mengendiagramm

Ein Ereignis, das man mit dem nicht-Operator erhält, wird auch Gegenereignis genannt.

Zu einem Ereignis $X$ enthält das Gegenereignis $\overset{}{X}$ alle Ergebnisse aus der Grundmenge $Ω$ , die nicht in $X$ enthalten sind.

Wahrscheinlichkeiten kombinierter Ereignisse

Wir stellen hier einige Rechenregeln zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten kombinierter Ereignisse zusammen.

Am häufigsten wird die folgende Regel zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses genutzt:

Visualisierung eines Gegenereignisses als Mengendiagramm ohne konkrete Werte

Für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overset{}{X}$ zu einem Ereignis $X$ gilt:

$P (X) + P (\overset{}{X}) = 1$

$P (\overset{}{X}) = 1 - P (X)$

Recht einfach sind die Berechnungen, wenn zwei Ereignisse unvereinbar sind:

Zwei Ereignisse $X$ und $Y$ heißen unvereinbar genau dann, wenn sie nicht beide eintreten können bzw. wenn das Und-Ereignis die leere Menge ergibt: $X \cap Y = \emptyset$ .

Für unvereinbare Ereignisse resultieren folgende Rechenregeln:

Visualisierung unvereinbarer Ereignisse als Mengendiagramm ohne konkrete Werte

Für zwei unvereinbare Ereignisse $X$ und $Y$ gilt:

$P (X \cap Y) = 0$

$P (X \cup Y) = P (X) + P (Y)$

Zusammenfassung - Verknüpfung von Ereignissen

Einen Kontext betrachten

Ereignisse kombinieren

Wahrscheinlichkeiten kombinierter Ereignisse

Suche

Rückmeldung geben