Analyse der Würfel – Simulationsvariante
Zur Orientierung
Um die Chancen der Augenzahlen bei den beiden Würfeln besser einschätzen zu können, werden die beiden Würfel oft geworfen. Alternativ zum Selberwürfeln kannst du die Experimente hier mit geeigneten Applets durchführen.
Den Standardwürfel untersuchen
Beim Standardwürfel wird vorausgesetzt, dass er fair ist. Wie zeigt sich das beim wiederholten Würfeln? Mit dem folgenden GeoGebra-Applet kannst du das herausfinden.
Hier einige Hinweise zur Bedienung des Applets:
Hinweise zur Bedienung
- Im Eingabefeld maximale Anzahl kannst du selbst einstellen, wie oft der Standardwürfel geworfen werden soll.
- Mit den Schaltflächen Start und Stop kannst du das Würfelwerfen starten und zwischenzeitlich anhalten. Mit der Schaltfläche Neustart kannst du den Ausgangszustand wieder herstellen.
- Die Geschwindigkeit der Würfelwürfe kannst du mit dem Schieberegler auf zwei unterschiedliche Stufen einstellen.
- Die Würfelergebnisse werden in dem Punktdiagramm sowie in den beiden Tabellen dargestellt. Die Tabelleneinträge sollst du (weiter unten) selbst deuten.
Mache dich zuerst einmal mit dem Applet vertraut.
Zum Herunterladen: wuerfelnSW.ggb
Aufgabe 1
Der Standardwürfel soll 100-mal geworfen werden. Führe die entsprechende Simulation mit dem Applet (mit geringer Geschwindigkeit) durch. Deute die Einträge in den beiden Tabellen. Erkläre dabei, was unter einer absoluten Häufigkeit und einer relativen Häufigkeit verstanden wird.
Aufgabe 2
Der Standardwürfel wird mehrfach (mit einem Neustart) 100-mal geworfen. Beschreibe, was du dabei beobachtest. Notiere die Tabelleneinträge zur absoluten Häufigkeit für einige Würfelserien.
| Augenzahl $e$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Würfelserie 1 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| Würfelserie 2 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| Würfelserie 3 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| Würfelserie 4 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
Aufgabe 3
Betrachte jetzt eine lange Würfelserie mit 1000 Würfelwürfen. Benutze hierfür die hohe Geschwindigkeit. Notiere die Tabelleneinträge zur absoluten und relativen Häufigkeit. Vergleiche mit den Ergebnissen aus den kürzeren Würfelserien in Aufgabe 2. Was fällt dir auf?
| Augenzahl $e$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| absolute Häufigkeit $H(e)$ | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| relative Häufigkeit $h(e)$ | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
Aufgabe 4
Bei einem fairen Standardwürfel wird die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl $6$ mit $P(6) = \frac{1}{6}$ (und entsprechend für alle anderen Augenzahlen) beschrieben. Erläutere den Zusammenhang zwischen dieser Wahrscheinlichkeitsangabe und den Einträgen in den Tabellen in Aufgabe 2 und Aufgabe 3.
Den Pyramidenwürfel untersuchen
Beim Pyramidenwürfel ist klar, dass er nicht fair ist. Unklar ist dagegen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Augenzahlen auftreten. Mit dem folgenden GeoGebra-Applet kannst du das herausfinden.
Hier einige Hinweise zur Bedienung des Applets.
Hinweise zur Bedienung
- Im Eingabefeld maximale Anzahl kannst du selbst einstellen, wie oft der Standardwürfel geworfen werden soll.
- Mit den Schaltflächen Start und Stop kannst du das Würfelwerfen starten und zwischenzeitlich anhalten. Mit der Schaltfläche Neustart kannst du den Ausgangszustand wieder herstellen.
- Die Geschwindigkeit der Würfelwürfe kannst du mit dem Schieberegler auf zwei unterschiedliche Stufen einstellen.
- Die Würfelergebnisse werden in dem Punktdiagramm sowie in den beiden Tabellen dargestellt. Die Tabelleneinträge sollst du (weiter unten) selbst deuten.
Mache dich zuerst einmal mit dem Applet vertraut.
Zum Herunterladen: wuerfelnPW.ggb
Aufgabe 5
Der Pyramidenwürfel wird mehrfach (mit einem Neustart) 600-mal geworfen. Notiere die Tabelleneinträge zur relativen Häufigkeit für einige Würfelserien.
| Augenzahl $e$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Würfelserie 1 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| Würfelserie 2 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| Würfelserie 3 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| Würfelserie 4 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
Aufgabe 6
Die Ergebnisse der Würfelserien unterscheiden sich vermutlich etwas. Sie liefern aber dennoch gute Anhaltspunkte, um die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse beim Pyramidenwürfel festzulegen. Mache einen Vorschlag, der die Werte in der Tabelle oben sowie die Symmetrieeigenschaften des Würfels berücksichtigt. Gleiche sie mit deinen Erwartungen aus Abschnitt Die Spielwürfel ab.
| Augenzahl $e$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Wahrscheinlichkeit $P(e)$ | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
