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Strukturierung – Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten

Relative Häufigkeiten als Schätzwerte für Wahrscheinlichkeiten verwenden

Wir verwenden das empirische Gesetz der großen Zahlen, um die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen mit Hilfe von relativen Häufigkeiten abzuschätzen. Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt:

Wenn ein Zufallsexperiment wiederholt durchgeführt wird, dann stabilisieren sich mit zunehmender Wiederholungszahl die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse.

Als Beispiel betrachten wir einen Pyramidenwürfel. Bei einem solchen Würfel kann vorab nicht vorhergesagen, wie häufig eine Augenzahl auf lange Sicht fallen wird. Erst die Durchführung einer längeren Versuchsreihe liefert hier Anhaltspunkte.

Zur Durchführung einer längeren Versuchsreihe kannst du das hier bereitgestellte GeoGebra-Applet benutzen.

Zum Herunterladen: wuerfelnPW.ggb

Gehe von folgenden Einstellungen aus.

Mache einen Neustart.
Übernimm die Gesamtanzahl 500 der Würfe.
Stelle die Geschwindigkeit auf einen großen Wert ein.
Führe die Würfelserie mit Start aus.

Aufgabe 1

(a) Die Tabelle enthält bereits zwei Zeilen [Version 1] und [Version 2] mit Werten für jeweils eine Würfelserie mit 500 simulierten Würfelwürfen. Ergänze in der Zeile [Version 3] deine ermittelten Werte.

Augenzahl $e$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
relative Häufigkeit $h(e)$ [Version 1]	$0.358$	$0.158$	$0.146$	$0.138$	$0.138$	$0.062$
relative Häufigkeit $h(e)$ [Version 2]	$0.318$	$0.13$	$0.136$	$0.17$	$0.192$	$0.054$
relative Häufigkeit $h(e)$ [Version 3]	...	...	...	...	...	...

(b) Mit den Ergebnissen solcher Versuchsreihen soll jetzt die erwartete relative Häufigkeit bei einer langen Versuchsreihe abgeschätzt werden. Diskutiere vorab folgende Fragen:

Warum ist es sinnvoll, die Werte aus mehreren Versuchsreihen zu berücksichtigen?
Warum ist es sinnvoll, den Augenzahlen 2, 3, 4 und 5 auf lange Sicht gleiche Chancen einzuräumen?
Warum sollte die Summe der erwarteten relativen Häufigkeiten 1 betragen?

Schätzung:

Augenzahl $e$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Wahrscheinlichkeit $P(e)$	...	...	...	...	...	...

Wahrscheinlichkeiten als Prognosewerte verwenden

Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen eines Zufallsexperiments sind erwartete relative Häufigkeit bei einer langen Versuchsreihe. Wenn die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen eines Zufallsexperiments gegeben sind, werden sie genutzt, um Prognosen über relative Häufigkeiten bei (real oder hypothetisch) geplanten Versuchsreihen zu erstellen. Hier spielen wir das am Beispiel eines Standardwürfels und eines Pyramidenwürfels durch.

Bei einem fairen Standardwürfel wird davon ausgegangen, dass alle Augenzahlen mit den gleichen Chancen fallen. Wir beschreiben diese Annahme, indem wir jeder Augenzahl die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ zuordnen.

Annahme:

Augenzahl $e$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Wahrscheinlichkeit $P(e)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

Aufgabe 2

(a) Ein Standardwürfel wird 500-mal geworfen. Wie oft fallen die Augenzahlen 1..6 voraussichtlich? Erstelle eine erste Prognose für diese Würfelserie.

(b) Eine bessere Prognose können wir erhalten, wenn wir die Formel für die Zufallsschwankungen bei einem Standardwürfel berücksichtigen:

$$\underbrace{\dfrac{1}{6} - \dfrac{0.75}{\sqrt{n}} \quad \leq \quad h(e) \quad\leq \quad\dfrac{1}{6} + \dfrac{0.75}{\sqrt{n}}}_{\text{nach $n$ Versuchen in ca. 95% aller Versuchsreihen}}$$

Benutze den Wert $n = 500$, um Intervalle für die erwartete relative Häufigkeit nach 500 Versuchen anzugeben. Gib zusätzlich Intervalle für die prognostizierten absoluten Häufigkeiten an.

Zum Herunterladen: wuerfelnSW.ggb

Aufgabe 3

Für einen Pyramidenwürfel sind die Wahrscheinlichkeiten der Augenzahlen folgendermaßen geschätzt worden:

Augenzahl $e$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Wahrscheinlichkeit $P(e)$	$0.35$	$0.15$	$0.15$	$0.15$	$0.15$	$0.05$

(a) Der Pyramidenwürfel wird 100-mal geworfen. Wie oft fallen die Augenzahlen 1..6 voraussichtlich? Erstelle eine erste Prognose für diese Würfelserie.

Erste Prognose:

Augenzahl $e$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
erwartete abs. Hfgk. $H(e)$	...	...	...	...	...	...

(b) Für eine verfeinerte Prognose kann die folgende Formel für die Zufallsschwankungen benutzt werden. Die Herleitung dieser Formel, wird im Kapitel Schätzen von Häufigkeiten dargelegt.

$$\underbrace{p - \frac{2 \sqrt{p \cdot (1-p)}}{\sqrt{n}} \quad \leq \quad h(e) \quad \leq \quad p + \frac{2 \sqrt{p \cdot (1-p)}}{\sqrt{n}}}_{\text{nach $n$ Versuchen in ca. 95% aller Versuchsreihen}}$$

Benutze den Wert $n = 100$ und für $p$ die entsprechende Wahrscheinlichkeit, um Intervalle für die erwartete relative Häufigkeit nach 100 Versuchen anzugeben. Gib zusätzlich Intervalle für die prognostizierten absoluten Häufigkeiten an. Die folgende Tabelle enthält bereits ein Kontrollergebnis.

Verfeinerte Prognose:

Augenzahl e	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
erwartete rel. Hfkt. $h(e)$	$0.255 \leq h(e) \leq 0.445$	$... \leq h(e) \leq ...$	$... \leq h(e) \leq ...$	$... \leq h(e) \leq ...$	$... \leq h(e) \leq ...$	$... \leq h(e) \leq ...$
erwartete abs. Hfkt. $H(e)$	$25 \leq H(e) \leq 45$	$... \leq H(e) \leq ...$	$... \leq H(e) \leq ...$	$... \leq H(e) \leq ...$	$... \leq H(e) \leq ...$	$... \leq H(e) \leq ...$