Zusammenfassung – Mehrstufige Zufallsexperimente
Gestufte Zufallsexperimente
Viele Zufallsexperimente haben eine gestufte Struktur. Sie kann – zumindest in Gedanken – in verschiedene Teilzufallsexperimente aufgeteilt werden.
Beispiele:
Zufallsexperiment: Ein Würfel wird dreimal geworfen. Dabei wird beobachtet, ob bei den einzelnen Würfen eine 6 oder keine 6 fällt.
- Stufe 1: Der Würfel wird ein erstes Mal geworfen. Dabei wird beobachtet, ob eine 6 oder keine 6 fällt.
- Stufe 2: Der Würfel wird ein zweites Mal geworfen. Dabei wird beobachtet, ob eine 6 oder keine 6 fällt.
- Stufe 3: Der Würfel wird ein drittes Mal geworfen. Dabei wird beobachtet, ob eine 6 oder keine 6 fällt.
Zufallsexperiment: Das Spiel Schere-Stein-Papier wird von zwei Personen A und B gespielt. Dabei wird beobachtet, ob sich Person A und Person B für Schere, Stein oder Papier entscheiden.
- Stufe 1: Beobachtet wird, für welche Geste sich Person A entscheidet.
- Stufe 2: Beobachtet wird, für welche Geste sich Person B entscheidet.
Zufallsexperiment: Ein Fragebogen besteht aus 10 Fragen mit jeweils 4 Antwortmöglichkeiten. Eine Person kreuzt ohne Wissen jeweils eine beliebige Antwort an. Beobachtet wird, welche Antworten die Person ankreuzt.
- Stufe 1: Beobachtet wird, für welche Antwortmöglichkeit sich die Person bei Frage 1 entscheidet.
- Stufe 2: Beobachtet wird, für welche Antwortmöglichkeit sich die Person bei Frage 2 entscheidet.
- ...
- Stufe 10: Beobachtet wird, für welche Antwortmöglichkeit sich die Person bei Frage 10 entscheidet.
Zufallsexperiment: Drei Münzen werden geworfen. Beobachtet wird, ob bei den Münzen Kopf oder Zahl fällt.
- Stufe 1: Beobachtet wird, ob bei Münze 1 Kopf oder Zahl fällt.
- Stufe 2: Beobachtet wird, ob bei Münze 2 Kopf oder Zahl fällt.
- Stufe 3: Beobachtet wird, ob bei Münze 3 Kopf oder Zahl fällt.
Solche Zufallsexperimente werden als mehrstufig bezeichnet.
Ein mehrstufiges Zufallsexperiment ist aus mehreren Teilexperimenten zusammengesetzt, die (ggf. in Gedanken) hintereinander ausgeführt werden.
Darstellung mehrstufiger Zufallsexperimente
Zur Verdeutlichung der Struktur eines mehrstufigen Zufallsexperiments wird häufig ein Baumdiagramm genutzt.
Wir betrachten hier und im Folgenden das Zufallsexperiment einen Würfel dreimal werfen und dabei beobachten, ob bei den einzelnen Würfen eine 6 oder keine 6 fällt
.
Zum Herunterladen: baum_3malwuerfeln_struktur.ggb
Die Ergebnisse der Teilexperimente bilden die Verzweigungspunkte des Baumes. An die Äste des Baumes werden in der Regel die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Teilergebnisse geschrieben.
Ergebnisse mehrstufiger Zufallsexperimente
Die Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments lassen sich direkt aus dem Baumdiagramm bestimmen.
Jeder Pfad im Baumdiagramm entspricht einem Ergebnis des Zufallsexperiments. Beschrieben werden diese Ergebnisse mit einer Auflistung der Teilergebnisse längs eines Pfades.
Die Auflistung kann dabei in Tupelform wie z.B. $(6, \overlinepatch{6}, 6)$ erfolgen. Wir verwenden hier meist eine verkürzte Form durch direktes Hintereinanderschreiben.
Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
Zur Festlegung der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments benutzen wir folgende Überlegung: Wenn das Zufallsexperiment häufig wiederholt wird, dann lässt sich die erwartete relative Häufigkeit eines Ergebnisses mit Hilfe des Produkts der Wahrscheinlichkeiten der Teilexperimente bestimmen.
Zum Herunterladen: pfadregel.ggb
Man erhält hierdurch ein Verfahren, wie sinnvollerweise die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments festgelegt werden.
Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines mehrstufigen Zufallsexperiments erhält man, indem die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Teilergebnisse (längs des entsprechenden Pfades) multipliziert werden.
Zum Herunterladen: baum_3malwuerfeln_modell.ggb
Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
Bei der Festlegung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen gehen wir von der allgemeinen Festlegung aus:.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, indem die Wahrscheinlichkeiten aller zugehörigen Ergebnisse aufaddiert werden.
Übertragen auf die Situation bei mehrstufigen Zufallsexperimenten bedeutet das, dass mit der Pfadregel ermittelte Wahrscheinlichkeiten aufaddiert werden müssen.
Das GeoGebra-Applet verdeutlicht die Situation für das Ereignis $E$: genau eine 6 erhalten
beim Zufallsexperiment
einen Würfel dreimal werfen und dabei beobachten, ob bei den einzelnen Würfen eine 6 oder keine 6 fällt
.
Zum Herunterladen: baum_3malwuerfeln_ereignis.ggb
Hier gilt $P(E) = P(6 ~ \overlinepatch{6} ~ \overlinepatch{6}) + P(\overlinepatch{6} ~ 6 ~ \overlinepatch{6}) + P(\overlinepatch{6} ~ \overlinepatch{6} ~ 6) = \frac{25}{216} + \frac{25}{216} + \frac{25}{216} = \frac{75}{216}$.
Das lässt sich allgemein so formulieren:
Summenregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse – die man mit der Pfadregel im Baumdiagramm bestimmt hat – aufaddiert.
