Strukturierung – Wahrscheinlichkeitsmodelle
Zielsetzung
Wahrscheinlichkeiten werden immer von Menschen gesetzt. Sie sind mathematische Modelle, die passend zu realen Situationen erschaffen werden. Einschätzung zu realen Situationen werden meist informell in unserer gängigen Umgangssprache formuliert. Mathematische Modelle werden dagegen immer möglichst präzise in der Sprache der Mathematik beschrieben. Hierfür werden dann spezielle Fachbegriffe und Schreibweisen verwendet. In diesem Abschnitt werden wir diese eher formalen Darstellungen einführen, um sie dann in den weiteren Kapiteln nutzen zu können. Hierzu betrachten wir nochmal die beiden Würfel aus den vorangehenden Kapiteln.
Einen Standardwürfel modellieren
Wir betrachten zunächst einen gewöhnlichen Standardwürfel - so wie er im Applet simuliert wird - und zeigen, wie ein solcher Würfel mathematisch beschrieben werden kann.
Zum Herunterladen: wuerfelnSW.ggb
Standardwürfel-Modell:
| Realität | Modell | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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Zufallsexperiment: einen Standardwürfel werfen und dabei die Augenzahl beobachten |
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| Ergebnisse: 1: Augenzahl 1 2: Augenzahl 2 ... |
Ergebnismenge: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ |
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| Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. |
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
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Einen Pyramidenwürfel modellieren
Zusätzlich betrachten wir einen Pyramidenwürfel - so wie er im Applet simuliert wird - und präsentieren auch für diesen Würfel die mathematische Beschreibung.
Zum Herunterladen: wuerfelnPW.ggb
Pyramidenwürfel-Modell:
| Realität | Modell | ||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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Zufallsexperiment: einen Pyramidenwürfel werfen und dabei die Augenzahl beobachten |
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| Ergebnisse: 1: Augenzahl 1 2: Augenzahl 2 ... |
Ergebnismenge: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ |
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| Wahrscheinlichkeitsschätzung: Die Wahrscheinlichkeiten werden ausgehend von den relativen Häufigkeiten aus einer langen Versuchsreihe gesetzt.
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Wahrscheinlichkeitsfunktion:
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Begriffe präzisieren
Die Beispiele verdeutlichen, dass wir ein Wahrscheinlichkeitsmodell mit einer Ergebnismenge und einer Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreiben.
Aufgabe 1
(a) Warum passen diese Ergebnismengen nicht zu dem Zufallsexperiment "einen Standardwürfel werfen und die Augenzahl beobachten"?
- $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
- $\Omega = \{g, u\}$, wobei g für "gerade Augenzahl" und u für "ungerade Augenzahl" steht
(b) Ergänze die Präzisierung des Fachbegriffs "Ergebnismenge".
Die Ergebnismenge zu einem Zufallsexperiment ... .
Aufgabe 2
(a) Warum stellen die folgenden Wertetabellen keine sinnvollen Festlegungen von Wahrscheinlichkeiten dar?
| $\boldsymbol{e}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| $\boldsymbol{P(e)}$ | 0.1 | -0.2 | 1.3 | -0.4 | 0.5 | 0.5 |
| $\boldsymbol{e}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| $\boldsymbol{P(e)}$ | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
(b) Ergänze die Präzisierung des Fachbegriffs "Wahrscheinlichkeitsfunktion".
Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist eine Funktion $P$, die jedem Ergebnis $e \in \Omega$ eine Wahrscheinlichkeit $P(e)$ zuordnet. Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
- $P(e)$ ist für alle $e \in \Omega$ eine reelle Zahl aus dem Intervall ....
- Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten $P(e)$ für $e \in \Omega$ muss den Wert ... ergeben.
Besondere Wahrscheinlichkeitsmodelle herausstellen
Die Festlegung der Wahrscheinlichkeitsfunktion beim Standardwürfel ist besonders einfach, da wir hier von der Annahme ausgehen können, dass alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind. Zufallsexperimente mit dieser Eigenschaft nennt man Laplace-Experimente (nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace, der von 1749 bis 1827 lebte).
Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleichwahscheinlich sind.
Das Zufallsexperiment "einen Standardwürfel werfen und dabei die Augenzahl beobachten" ist ein Laplace-Experiment. Das Zufallsexperiment "einen Pyramidenwürfel werfen und dabei die Augenzahl beobachten" ist dagegen kein Laplace-Experiment.
Aufgabe 3
Vervollständige die folgende Aussage:
Bei einem Laplace-Experiment mit $n$ Ergebnissen wird die Wahrscheinlichkeit so festgelegt:
$P(e) = ...$ für alle Ergebnisse $e$ aus der Ergebnismenge $\Omega$.
