Übungen – Mehrstufige Zufallsexperimente

Aufgabe 1

Betrachte das Zufallsexperiment eine Münze zweimal werfen und die Abfolge von K(opf) und Z(ahl) beobachten.

Ermittle mit einem Baumdiagramm alle Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten für dieses Zufallsexperiment.

Aufgabe 2

Ein Fragebogen besteht aus vier Fragen mit jeweils zwei Antwortmöglichkeiten. Eine Person kreuzt ganz zufällig (also ohne Wissen) Antworten auf die Fragen an. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Person mindestens drei Antworten richtig hat?

(a) Beschreibe zunächst das Zufallsexperiment: 4 ja/nein-Fragen ... und dabei ... beobachten.

(b) Ermittle mit einem Baumdiagramm alle Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten für dieses Zufallsexperiment.

(c) Bestimme die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Aufgabe 3

Gehe beim Pyramidenwürfel von folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung aus:

Bestimme eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für das zweifache Werfen eines Pyramidenwürfels (mit Beobachtung der Abfolge der Augenzahlen).

Aufgabe 4

Der französische Edelmann Chevalier de Méré – der im 17. Jahrhundert lebte – hat sich intensiv mit Würfelspielen beschäftigt. Ihm ist dabei folgender Widerspruch aufgefallen:

Er vermutete, dass die Augensummen 11 und 12 mit gleicher Wahrscheinlichkeit fallen, wenn drei Standardwürfel geworfen werden. Seine Argumentation war: Für die Augensumme 11 und 12 gibt es jeweils sechs Möglichkeiten:

• Augensumme 11: 1-4-6, 1-5-5, 2-3-6, 2-4-5, 3-3-5, 3-4-4
• Augensumme 12: 1-5-6, 2-4-6, 2-5-5, 3-3-6, 3-4-5, 4-4-4

Chevalier de Méré beobachtete aber, dass die Augensumme 11 häufiger auftritt als die Augensumme 12, wenn die drei Würfel wiederholt geworfen werden.

Chevalier de Méré bat daraufhin den Mathematiker Blaise Pascal, diesen Widerspruch zu klären. Deine Aufgabe ist es, die Rolle von Blaise Pascal zu übernehmen.

(a) Erstelle für die beiden Augensummen 11 und 12 jeweils ein reduziertes Baumdiagramm. Im reduzierten Baumdiagramm werden nur die Pfade gezeichnet, die für die betrachteten Ergeignisse relevant sind. Im Fall die Augensumme beträgt 11 werden also nur die Pfade mit genau dieser Augensumme gezeichnet.

(b) Bestimme mit Hilfe der reduzierten Baumdiagramme die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$: die Augensumme beträgt 11 und $B$: die Augensumme beträgt 12. Löse so den Widerspruch auf.

(c) Chevalier de Méré hat einen Modellierungsfehler gemacht. Schreibe einen Brief an den Chevalier, in dem du ihm den Modellierungsfehler erklärst.

Aufgabe 5

Im "Best-of-Modus" treten zwei Gegner (z.B. Eishockey-Mannschaften) mehrfach gegeneinander an. Gesamtgewinner ist, wer zuerst eine vorher festgelegte Anzahl von Matches gewonnen hat.

Betrachte eine Best-of-3-Begegnung zweier Mannschaften A und B, bei der der Gewinner zuerst drei Matches gewonnen haben muss. Gehe davon aus, dass Mannschaft A die etwas stärkere ist und 60% aller Matches gegen Mannschaft B gewinnt. Ein Unentschieden gibt es nicht.

Ermittle mit Hilfe eines Baumdiagramms, wie wahrscheinlich es ist, dass die etwas schwächere Mannschaft B die Best-of-3-Begegnung gewinnt.