Strukturierung – Zufallsschwankungen
Zufallsexperimente betrachten
Wir betrachten Situationen, in denen bei einem Vorgang unklar ist, welches Ergebnis eintritt. Eine solche Situation ist beispielsweise das Werfen eines Würfels, da die Augenzahl nicht vorhergesagen werden kann. Solche Situationen werden mit dem Begriff „Zufallsexperiment“ beschrieben.
Ein Zufallsexperiment (oder Zufallsversuch) ist ein Vorgang, bei dem mehrere Ergebnisse möglich sind, aber vorab nicht genau vorhergesagt werden kann, welches Ergebnis tatsächlich eintritt. Wir setzen bei einem Zufallsexperiment immer voraus, dass es unter gleichen Bedingungen wiederholt durchgeführt werden kann.
Zufallsschwankungen untersuchen
Bei der einmaligen Durchführung eines Zufallsexperiments, kann das Eintreffen eines Ergebnisses nicht vorhergesagen werden. Wird das Zufallsexperiment dagegen wiederholt durchführt, zeigen sich interessante Effekte. Diese Effekte kannst du mit dem folgenden GeoGebra-Applet untersuchen.
Hier einige Hinweise zur Bedienung des Applets.
Hinweise zur Bedienung
- Im Eingabefeld maximale Anzahl kannst du selbst einstellen, wie oft der Standardwürfel geworfen werden soll.
- Mit den Schaltflächen Start und Stop kannst du das Würfelwerfen starten und zwischenzeitlich anhalten. Mit der Schaltfläche Neustart kannst du den Ausgangszustand wieder herstellen.
- Die Geschwindigkeit der Würfelwürfe kannst du mit dem Schieberegler auf zwei unterschiedliche Stufen einstellen.
- Die Häufigkeiten der Würfelergebnisse werden in den beiden Tabellen dargestellt.
- Die Darstellung im unteren Fenster sollst du in den folgenden Aufgaben selbst untersuchen.
Zum Herunterladen: empirischesGesetzSW.ggb
Aufgabe 1
Gehe von folgenden Einstellungen aus.
- Mache einen Neustart.
- Übernimm die Gesamtanzahl 100 der Würfe.
- Stelle die Geschwindigkeit auf "klein" ein.
Gehe dann folgendermaßen vor: Aktiviere Start und dann sofort Stop, sodass nur ein Würfelwurf simuliert wird. Beobachte die Einträge in den Tabellen und die Darstellung im unteren Fenster. Fahre dann genauso fort, bis du die Darstellung im unteren Fenster verstanden hast.
Beschreibe abschließend in eigenen Worten, was der Graph im unteren Fenster (bei einer vorgegebenen Augenzahl) darstellt.
Aufgabe 2
Im unteren Fenster ist eine orangefarbene Gerade im Abstand von ca. 0.17 zur x-Achse zu sehen. Deute die Zahl 0.17 und erläutere den Zweck der Geraden.
Aufgabe 3
Wenn die Darstellung im unteren Fenster klar ist, kannst du die Geschwindigkeit auf "groß" einstellen und mit einem Neustart die Simulation der Würfelwürfe wiederholt durchführen.
Was lässt sich über die Entwicklung der Zufallsschwankungen der relativen Häufigkeiten sagen? Beschreibe deine Beobachtungen.
Zufallsschwankungen eingrenzen
Im folgenden GeoGebra-Applet ist die Simulation so eingestellt, dass immer wieder neue Würfelserien mit der voreingestellten Gesamtzahl der Würfe durchgeführt werden.
Zum Herunterladen: empirischesGesetzSWmitTrichter.ggb
Aufgabe 4
(a) Stelle die maximale Azahl der Würfe auf einen festen Wert - z.B. 100 - ein. Simuliere mit Neustart und Start mehrere Würfelserien und beobachte die Entwicklung der relativen Häufigkeiten.
(b) Blende jetzt den "Trichter" ein. Es werden zwei Graphen angezeigt, die die Gerade wie eine Art Trichter einschließen. Mit diesem Trichter kann der Abstand von relativen Häufigkeiten zur vorgegebenen Wahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{6} \approx 0.17$ kontrolliert werden. Beschreibe, wie der Trichter den Graphen zu den relativen Häufigkeiten eingrenzt.
(c) Stelle probeweise die Gesamtanzahl der Würfe auf einen großen Wert ein - z.B. 1000. Beobachte, wie der Trichter den Abstand zur voreingestellten Wahrscheinlichkeit verringert.
(d) Mit dem Trichter kann abgeschätzt werden, wie weit die relative Häufigkeit bei einer Versuchsreihe von der erwarteten Wahrscheinlichkeit entfernt sein kann.
$\underbrace{\frac{1}{6} - \frac{0.75}{\sqrt{n}} \leq h(e) \leq \frac{1}{6} + \frac{0.75}{\sqrt{n}}}_{\text{nach \(n\) Versuchen in ca. 95% aller Versuchsreihen}}$
Diese Abschätzung ist kompliziert. Sie besagt, dass die relative Häufigkeit fast immer einen maximalen Abstand von $\frac{0.75}{\sqrt{n}}$ zur erwarteten Wahscheinlichkeit $p = \frac{1}{6}$ eines Ergebnisses beim Würfelwurf hat.
Für $n = 100$ heißt das:
- Die realive Häufigkeit $h(e)$ für ein Würfelergebnis $e$ kann bei einer Würfelserie von $n = 100$ Versuchen die Werte $\frac{0}{100} = 0$, $\frac{1}{100} = 0.01$, $\frac{2}{100} = 0.02$, ..., $\frac{100}{100} = 1$ annehmen.
- Die Werte $\frac{0}{100} = 0$ und $\frac{100}{100} = 1$ sind zwar möglich, aber sehr sehr unwahrscheinlich. In der Praxis kommen sie daher so gut wie nie vor. Auch andere Werte sind sehr unwahrscheinlich.
- Die Werte der relativen Häufigkeit, die nach einer Würfelserie mit $n = 100$ in der Praxis (in 95% aller Fälle) vorkommen, liegen im Intervall $\frac{1}{6} - \frac{0.75}{\sqrt{100}} \leq h(e) \leq \frac{1}{6} + \frac{0.75}{\sqrt{100}}$.
- Dieses Intervall lässt sich durch Ausrechnen auch so angeben:
$\underbrace{0.09 \leq h(e) \leq 0.24}_{\text{nach 100 Versuchen in ca. 95% aller Versuchsreihen}}$.
(1) Fertige eine entsprechende Abschätzung für $n = 400$ an.
(2) Begründe: Wenn die Länge $n$ der Versuchsreihe vervierfacht wird, dann halbiert sich der maximale Abstand.
(3) Der maximale Abstand soll $0.01$ betragen. Wie groß muss $n$ für diesen Abstand gewählt werden? Bestimme $n$.
Zufallsschwankungen beschreiben
Bei langen Würfelserien zeigen sich Effekte, die auch beim wiederholten Durchführen anderer Zufallsexperimente beobachtet werden können.
Aufgabe 5
Beschreibe den Effekt, der bei einer langen Serie zur wiederholten Durchführung eines Zufallsexperiments beobachtet werden kann. Mit "empirisch" wird angedeutet, dass der Effekt tatsächlich bei real durchgeführten Experimenten auftritt.
Empirisches Gesetz der großen Zahlen:
Wenn ein Zufallsexperiment wiederholt durchgeführt wird, ...
