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Vertiefung - Nachweis von Monotonie und Beschränktheit

Eigenschaften begründen

Die Begriffsdefinitionen zur Monotonie und Beschränktheit machen es möglich, Eigenschaften von Folgen argumentativ nachzuweisen. Wir nutzen hier inhaltliche Begründungen und verzichten auf strenge Beweise.

Beispiel 1

Als Beispiel betrachten wir die Folge $(a_{n})$ , die so festgelegt ist:

Graph	Darstellung
	$a_{n} = 200 \cdot (1 - {0.5}^{n})$

Anhand des Graphen vermutet man, dass die Folge streng monoton steigend und nach oben und unten beschränkt ist.

Aufgabe 1: Beschränktheit begründen

(a) Begründe zunächst, dass $0 < {0.5}^{n} < 1$ für $n = 1; 2; 3; . . .$ gilt.

(b) Begründe mit Hilfe von (a), dass $a_{n} > 0$ und $a_{n} < 200$ für alle Folgenglieder gilt.

Aufgabe 2: Monotonie begründen

(a) Begründe zunächst, dass ${0.5}^{n} > {0.5}^{n + 1}$ für $n = 1; 2; 3; . . .$ gilt.

(b) Begründe mit Hilfe von (a), dass $a_{n} < a_{n + 1}$ für alle Folgenglieder gilt.

Beispiel 2

Als Beispiel betrachten wir die Folge $(a_{n})$ , die so festgelegt ist:

Graph	Darstellung
	$a_{n} = 90 + 10 \cdot n$

Anhand des Graphen vermutet man, dass die Folge streng monoton steigend und nicht nach oben beschränkt ist.

Aufgabe 3: Monotonie begründen

(a) Begründe zunächst, dass $10 \cdot n < 10 \cdot (n + 1)$ für $n = 1; 2; 3; . . .$ gilt.

(b) Begründe mit Hilfe von (a), dass $a_{n} < a_{n + 1}$ für alle Folgenglieder gilt.

Aufgabe 4: Beschränktheit untersuchen

Kann es eine obere Schranke $S$ für die Folgenglieder geben?

(a) Kann $S = 1000$ eine obere Schranke für die Folgenglieder sein? Begründe, dass man eine Platznummer $n$ findet, so dass $a_{n} > S$ gilt.

(b) Begründe, dass man für beliebige Werte für $S$ eine Platznummer $n$ findet, so dass $a_{n} > S$ gilt.