Explizite Folgenbeschreibung
Eine alternative Lösungsstrategie nutzen
Das Begrüßungsproblem lässt sich auch mit einer anderen Strategie lösen.
Aufgabe 1
F. argumentiert so:
„Wenn 113 Personen sich gegenseitig begrüßen, dann begrüßt jede der 113 Personen 112 andere Personen. Man müsste also $113 \cdot 112$ rechnen, um alle Begrüßungen zu erhalten.“
Stimmt die Argumentation? Überprüfe die Rechnung an einem Zahlenbeispiel. (Wähle die Zahlen so, dass du dein Ergebnis mit einem Kontrollwert abgleichen kannst.)
Aufgabe 2
Was stellst du fest, wenn du die Rechnung aus Aufgabe 1 mit der rekursiven Berechnung der vorherigen Seite vergleichst?
(a) Formuliere möglichst präzise. Wenn du den Zusammenhang noch nicht direkt siehst, nutze verschiedene Zahlenbeispiele.
(b) Begründe den gefundenen Zusammenhang. Kontrolliere ihn danach an verschiedenen Zahlenbeispielen.
R. argumentiert so: „Wenn 113 Personen sich gegenseitig begrüßen, dann begrüßt jede der 113 Personen 112 andere Personen. Wenn man $113 \cdot 112$ rechnet, wird jede Begrüßung doppelt gezählt. Man müsste also $(113 \cdot 112)/2$ rechnen.“
Erkläre am Beispiel von drei Personen, was R. meint.
Führe weitere Kontrollrechnungen durch:
- Anzahl der Personen: $3$
Gesamtanzahl der Begrüßungen: $(3 \cdot 2)/2 = ...$ -
Anzahl der Personen: $4$
Gesamtanzahl der Begrüßungen: ... -
Anzahl der Personen: ...
Gesamtanzahl der Begrüßungen: ...
Aufgabe 3
Mit der Lösungsstrategie aus Aufgabe 2 lässt sich eine Formel für alle Folgenglieder aufstellen. Ergänze die Formel für $a_n$.
$a_2 = (2 \cdot 1)/2$
$a_3 = (3 \cdot 2)/2$
...
Aufgabe 4
Benutze die Formel aus Aufgabe 3, um die Gesamtanzahl der Begrüßungen bei 113 Personen zu berechnen.
