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Strukturierung - Folgenbegriff

Zur Orientierung

In den beiden vorangegangenen Abschnitten hast du Zahlenfolgen in verschiedenen Situationen benutzt, um Probleme zu bearbeiten. Du hast dabei bereits ein intuitives Verständnis zum mathematischen Folgenbegriff genutzt. Auf dieser Seite soll der mathematische Folgenbegriff präzisiert werden. Es geht also um die Frage "Was ist eine Folge?".

Wir beginnen mit den bereits betrachteten Folgen in den vorangegangenen Abschnitten.

Die Begrüßungsfolge betrachten

Hier noch einmal die Ergebnisse zur Lösung des Begrüßungsproblems.

Beispiel "Begrüßungen":

Die Zahlenfolge $0; 1; 3; 6; 10; . . .$ beschreibt der Reihe nach die jeweilige Anzahl von Begrüßungen, wenn $1; 2; 3; 4; 5; . . .$ Personen sich alle gegenseitig begrüßen.

Wenn man die einzelnen Folgenglieder der Zahlenfolge $0; 1; 3; 6; 10; . . .$ mit den Bezeichnern $a_{1}; a_{2}; a_{3}; . . .$ beschreibt, dann kann man die Folgenglieder mit der expliziten Darstellung $a_{n} = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}$ beschreiben.

Aufgabe 1

(a) Erläutere anhand des folgenden Applets: Die Zahlenfolge $0; 1; 3; 6; 10; . . .$ kann als (verkürzte) Wertetabelle einer Funktion aufgefasst werden.

(b) Beschreibe die Definitionsmenge der Funktion. Welche Zahlen kommen hier vor?

(c) Der Graph der Funktion entsteht, wenn du den Schieberegler benutzt. Erkläre, warum es bei einer Folge keinen Sinn macht, die Punkte des Graphen zu verbinden.

(d) Mache dir die Schreibweisen klar. Die Funktion könnte man mit $a$ bezeichnen. Dann wäre $a (n) = a_{n}$ . Statt mit $a$ wird die Funktion hier mit $(a_{n})$ beschrieben. Das ist die übliche Schreibweise bei Folgen.

Zum Herunterladen: darstellung_als_funktion1.ggb

Die Türme-von-Hanoi-Folge betrachten

Hier noch einmal die Ergebnisse zur Lösung des Umschichtungsproblems bei den Türmen von Hanoi.

Beispiel "Türme von Hanoi":

Die Zahlenfolge $1; 3; 7; 15; 31; . . .$ beschreibt der Reihe nach die jeweilige Anzahl von Scheibenbewegungen, sie man mindestens benötigt, um einen Scheibenturm mit $1; 2; 3; 4; 5; . . .$ Scheiben umzuschichten.

Aufgabe 2

Ändere die Funktionsgleichung im folgenden Applet so ab, dass die Zahlenfolge $1; 3; 7; 15; 31; . . .$ als Funktion beschrieben wird. Hinweis: Eine Hochzahl erhält man mit dem Symbol "^".

Zum Herunterladen: darstellung_folge_als_funktion.ggb

Eine weitere Folgen betrachten

Die Folgenglieder einer Zahlenfolge können beliebige reelle Zahlen sein. Das kannst du im nächsten Beispiel sehen.

Beispiel "Sparschwein":

Die Zahlenfolge $0; 0.5; 1; 1.5; 2; . . .$ beschreibt der Reihe nach den Gesamtinhalt eines Sparschweins [in €] nach $0; 1; 2; 3; 4; 5; . . .$ Tagen, wenn das Sparschwein zu Beginn leer ist und man jeden Tag 0.50 € hineinwirft.

Aufgabe 3

Wir beschreiben die einzelnen Folgenglieder der Zahlenfolge $0; 0.5; 1; 1.5; 2; . . .$ mit den Bezeichnern $a_{0}; a_{1}; a_{2}; a_{3}; . . .$ .

Die Berechnung der Folgenglieder kann so erfolgen.

$a_{0} = 0 \cdot 0.5$
$a_{1} = 1 \cdot 0.5$
$a_{2} = 2 \cdot 0.5$
...
$a_{n} = . . .$ für $n = 0; 1; 2; . . .$

Ergänze die Formel zur Berechnung von $a_{n}$ . Kontrolliere mit dem Applet (mit passenden Eingaben – auch für nMin).

Zum Herunterladen: darstellung_folge_als_funktion.ggb

Den Folgenbegriff präzisieren

Die Beispiele verdeutlichen, dass man eine Zahlenfolge als Funktion auffassen kann.

Eine Folge ist eine Funktion, die jeder natürlichen Zahl (aus einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen) eine reelle Zahl zuordnet.