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Zusammenfassung - Beschränktheit von Folgen

Schranken für die Folgenglieder

Beschränktheitsbegriffe benutzt man, um Folgen zu beschreiben, deren Folgenglieder bestimmte Schranken nicht über- bzw. unterschreiten. In diesem Abschnitt werden diese Begriffe präzisiert und anhand von Beispielen verdeutlicht.

Nach oben beschränkte Folgen

Eine Folge (an) heißt nach oben beschränkt genau dann, wenn es eine reelle Zahl S ("d.h., eine obere Schranke") gibt, so dass für alle Folgenglieder die Bedingung an≤S erfüllt ist.

Beispiele:

FolgeEigenschaft
Folgea1≤S;
a2≤S;
a3≤S;
...
Folgea1≤S;
a2≤S;
a3≤S;
...
Folgea1≤S;
a2≤S;
a3≤S;
...

Beachte: Wenn eine Folge nach oben beschränkt ist, dann hat sie unendlich viele obere Schranken. Das ist hier am 2. und 3. Beispiel verdeutlicht.

Nach unten beschränkte Folgen

Eine Folge (an) heißt nach unten beschränkt genau dann, wenn es eine reelle Zahl S ("d.h., eine untere Schranke") gibt, so dass für alle Folgenglieder die Bedingung an≥S erfüllt ist.

Beispiele:

FolgeEigenschaft
Folgea1≥S;
a2≥S;
a3≥S;
...
Folgea1≥S;
a2≥S;
a3≥S;
...

Beachte: Wenn eine Folge nach unten beschränkt ist, dann hat sie unendlich viele untere Schranken.

Beschränkte Folgen

Eine Folge (an) heißt beschränkt genau dann, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist.

Beispiel:

FolgeEigenschaft
Folgea1≥Su;
a2≥Su;
...
a1≤So;
a2≤So;
...
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